Топология и комбинаторика действий торов


Скачать 136.02 Kb.
PDF просмотр
НазваниеТопология и комбинаторика действий торов
страница8/8
Панов Тарас Евгеньевич
Дата конвертации15.08.2012
Размер136.02 Kb.
ТипАвтореферат
СпециальностьГеометрия и топология
Год2009
На соискание ученой степениДоктор физико-математических наук
1   2   3   4   5   6   7   8

14
комплексный полидиск
(D2)m = (z1, . . . , zm) ∈ Cm : |zi|2
1,
i = 1, . . . , m .
С каждым симплексом σ ∈ K свяжем подмножество
Bσ = (z1, . . . , zm) ∈ (D2)m : |zi|2 = 1 при i /
∈ σ ,
и определим момент-угол-комплекс
ZK =
Bσ ⊂ (D2)m,
σ∈K
где объединение берётся в полидиске (D2)m. По построению, ZK является T m-
инвариантным подпространством, содержащим стандартный тор Tm ⊂ (D2)m. Эта
конструкция момент-угол-комплекса, с одной стороны, обобщает понятие момент-
угол-многообразия ZP , а, с другой стороны, эквивалентна конструкции вспомога-
тельного T m-пространства, введённого Дэвисом–Янушкевичем при изучении квази-
торических многообразий.
Теоремы 6.1.1 и 6.1.6.
1. Пусть K = KP — граница симплициального многогранника, двойственного к
простому многограннику P . Тогда соответствующий момент-угол-комплекс T m-
эквивариантно гомеоморфен момент-угол многообразию ZP .
2. Если K является симплициальным разбиением (n − 1)-мерной сферы, то ZK
является (компактным) T m-многообразием.
3. Если K является симплициальным разбиением (n−1)-мерного многообразия, то
дополнение ZK \ Tm до стандартного тора Tm ⊂ (D2)m является (некомпактным)
T m-многообразием.
В разделе 6.2 изучаются гомотопические свойства момент-угол-комплексов. Гомо-
топическое факторпространство (конструкция Бореля) ET m ×Tm ZK называется про-
странством Дэвиса–Янушкевича и обозначается DJ (K). Известно, что когомологии
пространства DJ (K) (т.е. эквивариантные когомологии момент-угол-комплекса ZK)
изоморфны кольцу граней Z[K]. Мы показываем (в теореме 6.2.3), что пространство
DJ (K) реализуется, с точностью до гомотопической эквивалентности, в виде просто-
го клеточного подкомплекса в стандартном клеточном разбиении классифицирую-
щего пространства BT m (которое представляет собой произведение m экземпляров
CP ∞). Таким образом, момент-угол-комплекс представляется в виде гомотопическо-
го слоя простого вложения клеточных комплексов (следствие 6.2.4). Этот резуль-
тат играет ключевую роль в дальнейшем описании гомотопических типов момент-
угол-комплексов, соответствующих различным сериям симплициальных комплек-
сов K. Результат Дэвиса–Янушкевича об эквивариантных когомологиях момент-
угол-комплекса также непосредственно вытекает из нашего описания ZK в виде гомо-
топического слоя (следствие 6.2.5). Наконец, мы получаем некоторую информацию
о гомотопических группах момент-угол-комплексов (предложение 6.2.7), из которой
в частности вытекает, что все они являются 2-связными.
В разделе 6.3 строится каноническое клеточное разбиение момент-угол-комплек-
сов. Соответствующий комплекс клеточных цепей приобретает вторую градуиров-
ку, и тем самым можно рассматривать биградуированные клеточные когомологии
и числа Бетти b−i,2j(ZK) момент-угол-комплексов. Доказывается, что соответствие
K → ZK задаёт функтор из категории симплициальных комплексов и симплици-
альных отображений в категорию пространств с действием тора и эквивариантных
отображений. Оно также индуцирует естественное преобразование между функто-
ром симплициальных коцепей на K и функтором клеточных коцепей на ZK. При

15
этом все отображения сохраняют клеточную биградуировку, так что биградуирован-
ные когомологии и числа Бетти момент-угол-комплексов также функториальны.
В разделе 6.4 даётся описание кольца когомологий момент-угол-комплекса ZK.
Теорема 6.4.6. Имеют место функториальные по K изоморфизмы градуирован-
ных алгебр
H∗(ZK) ∼
= Tor∗
Z[K], Z ∼
Z[v
= H Λ[u
1,...,vm]
1, . . . , um] ⊗ Z[K], d .
Здесь справа стоит алгебра когомологий дифференциальной градуированной алгеб-
ры Λ[u1, . . . , um] ⊗ Z[K], где образующие ui внешней алгебры имеют степень 1, а
дифференциал задан на образующих следующим образом: dui = vi, dvi = 0.
Второй изоморфизм в теореме основан на стандартном вычислении Tor-алгебры
при помощи комплекса Кошуля. Доказательство первого изоморфизма основано на
анализе биградуированных клеточных коцепей и построении специальной клеточ-
ной аппроксимации диагонального отображения ∆ : ZK → ZK × ZK, обладающей
нужными функториальными свойствами. Таким образом, алгебраические биграду-
ированные числа Бетти кольца граней Z[K] отождествляются с топологическими
биградуированными числами Бетти момент-угол-комплекса ZK.
Теорема 6.4.6 даёт достаточно эффективное описание кольца H∗(ZK) и легко при-
меняется для конкретных вычислений с симплициальными комплексами. В случае
комплексов с большим числом вершин для вычисления размерностей биградуиро-
ванных компонент Tor-модулей можно привлечь известные пакеты компьютерных
программ (Масаulay2 и др.). Кроме того, применение теоремы Хохстера позволяет
свести вычисление к когомологиям полных подкомплексов в K следующим образом:
Hk(ZK) ∼
=
Hk−|ω|−1(Kω),
ω⊂[m]
где Kω — полный подкомплекс. Умножение в когомологиях момент-угол-комплекса
также допускает описание через полные подкомплексы в K (теорема 6.4.9).
В разделе 6.5 описываются свойства биградуированных чисел Бетти b−i,2j(ZK),
как в общем случае, так и для момент-угол-комплексов, соответствующих различ-
ным специальным классам симплициальных комплексов. Доказано, что числа граней
симплициального комплекса K (т.е. его f - и h-векторы) выражаются через биграду-
ированные числа Бетти b−i,2j(ZK) (теорема 6.5.2). Если K является симплициальным
разбиением сферы, то ZK является многообразием, и двойственность Пуанкаре в
когомологиях H∗(ZK) сохраняет биградуированную структуру в когомологиях. Это
приводит к дополнительным соотношениям на числа b−i,2j(ZK) (предложение 6.5.5).
В более общем случае, имеет место следующий результат.
Теорема 6.5.7. ZK является пространством с двойственностью Пуанкаре то-
гда и только тогда, когда K является горенштейновым комплексом.
Вычислены числа Бетти и умножение в когомологиях момент-угол-многообразий,
соответствующих многоугольникам (теорема 6.5.10). Уже из этого вычисления вид-
но, что, несмотря на простоту конструкций момент-угол-комплексов и многообразий,
их топология достаточно сложна. Более того, оказалось, что в кольцах когомологий
момент-угол-комплексов существуют нетривиальные произведения Масси28.
28И. В. Баскаков. Тройные произведения Масси в когомологиях момент-угол-комплексов. Успехи
Мат. Наук 58 (2003), вып. 5, 199–200.

16
Важным аспектом теории момент-угол-комплексов является её тесная взаимосвязь
с конфигурациями координатных подпространств и их дополнениями, которые иг-
рают важную роль в алгебраической геометрии, теории особенностей и конфигура-
ционных пространств. Этим вопросам посвящён раздел 6.6.
Координатное подпространство в Cm можно задать в виде
Lω = {(z1, . . . , zm) ∈ Cm : zi = . . . = z = 0},
1
ik
где ω = {i1, . . . , ik} ⊂ [m]. Для каждого симплициального комплекса K на множестве
[m] рассмотрим конфигурацию комплексных координатных подпространств A(K) =
{Lω : ω /
∈ K} и её дополнение в Cm:
U(K) = Cm \
Lω.
ω /
∈K
Сопоставление K → U(K) определяет взаимно однозначное соответствие между сим-
плициальными комплексами на множестве [m] и дополнениями координатных кон-
фигураций в Cm, сохраняющее отношение вложения.
Теорема 6.6.5. Для любого симплициального комплекса K на множестве [m]
имеется T m-эквивариантная деформационная ретракция
ZK → U(K) −→ ZK.
Наличие гомотопической эквивалентности U(K)
ZK позволяет применять наши
результаты о момент-угол-комплексах в теории конфигураций. В частности, мы по-
лучаем решение известной задачи об описании кольца когомологий дополнения кон-
фигурации координатных подпространств. Отметим, что другие известные результа-
ты о когомологиях дополнений конфигураций координатных подпространств не опи-
сывают мультипликативной структуры (как общая теорема Горески–Макферсона29,
либо дают лишь описание произведения двух данных коциклов в комбинаторных
терминах (как результат де Лонгвилле30). Наш результат о момент-угол-комплексах
даёт исчерпывающее глобальное описание кольца когомологий дополнения конфи-
гурации координатных подпространств. Результаты Горески–Макферсона (в части
координатных конфигураций) и де Лонгвилле сводятся к частным случаям нашего
результата при помощи двойственности Александера (предложение 6.6.8).
В разделе 6.7 показано, что полученные ранее свойства момент-угол-комплекса
позволяют интерпретировать его как множество Кемпфа–Несс для действия ал-
гебраического тора на алгебраическом многообразии U(K). Классическое понятие
множества Кемпфа–Несс используется в теории действий алгебраических групп на
аффинных многообразиях и позволяет заменить категорное факторпространство на
факторпространство по действию максимальной компактной подгруппы. Хотя до-
полнение U(K) не является аффинным многообразием (оно лишь квазиаффинно),
момент-угол-комплекс ZK ⊂ U(K) обладает всеми свойствами аффинных множеств
Кемпфа–Несс. Это позволяет поместить конструкции момент-угол-комплексов в кон-
текст теории действий алгебраических групп и геометрической теории инвариантов.
Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту
члену-корреспонденту РАН Виктору Матвеевичу Бухштаберу за многолетнее плодо-
творное сотрудничество, поддержку и внимание к данной работе. Автор чрезвычайно
29М. Горески, Р. Макферсон, Стратифицированная теория Морса, М.: Мир, 1991.
30M. de Longueville. The ring structure on the cohomology of coordinate subspace arrangements. Math.
Z. 233 (2000), no. 3, 553–577.

17
признателен всем сотрудникам кафедры высшей геометрии и топологии механико-
математического факультета МГУ за тёплую и дружескую атмосферу, которая весь-
ма способствовала работе над диссертацией, а также лично академику РАН С. П. Но-
викову, Л. А. Алании, А. А. Гайфуллину, И. А. Дынникову и Д. В. Миллионщикову за
полезные обсуждения и замечания о результатах диссертации. Автор также выража-
ет благодарность российским и зарубежным коллегам и соавторам, среди которых
стоит особо выделить И. В. Аржанцева, Н. Э. Добринскую, М. Масуду и Н. Рэя.
Список публикаций по теме диссертации
[1] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Торические действия в топологии и комбинаторике. Издатель-
ство МЦНМО, Москва, 2004, 272 стр.
[2] V. Buchstaber and T. Panov. Torus Actions and Their Applications in Topology and Combinatorics.
University Lecture Series 24. Amer. Math. Soc. Providence, R.I., 2002, 152 pp.
[3] И. В. Баскаков, В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Алгебры клеточных коцепей и действия торов.
Успехи Мат. Наук 59 (2004), вып. 3, стр. 159–160.
[4] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Алгебраическая топология многообразий, определяемых просты-
ми многогранниками. Успехи Мат. Наук 53 (1998), вып. 3, стр. 195–196.
[5] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Действия тора и комбинаторика многогранников. Труды Ма-
тем. Инст. им. В. А. Стеклова, т. 225 (1999), стр. 96–131.
[6] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Действия тора, комбинаторная топология и гомологическая
алгебра. Успехи Мат. Наук 55 (2000), вып. 5, стр. 3–106.
[7] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Момент-угол комплексы и комбинаторика симплициальных
многообразий. Успехи Мат. Наук 55 (2000), вып. 3, стр. 171–172.
[8] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Действия тора, эквивариантные момент-угол-комплексы и
конфигурации координатных подпространств. Записки научных семинаров С.-Петербургского
отделения Матем. Инст. им. В. А. Стеклова, т. 266 (2000), стр. 29–50.
[9] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Комбинаторика симплициально клеточных комплексов и то-
рические действия. Труды Матем. Инст. им. В. А. Стеклова, т. 247 (2004), стр. 41–58.
[10] М. Масуда, Т. Е. Панов. Полусвободные действия окружности, башни Ботта и квазиториче-
ские многообразия. Мат. Сборник 199 (2008), вып. 8, стр. 95–122.
[11] Т. Е. Панов. Эллиптический род для многообразий с действием группы Z/p. Успехи мат. на-
ук 52 (1997), вып. 2, стр. 181–182.
[12] Т. Е. Панов. Классификация с точностью до кобордизма многообразий, несущих простое дей-
ствие группы Z/p. Мат. заметки 63 (1998), вып. 2, стр. 260–268.
[13] Т. Е. Панов. Вычисление родов Хирцебруха многообразий, несущих действие группы Z/p через
инварианты действия. Известия РАН, сер. матем. 62 (1998), вып. 3, стр. 87–120.
[14] Т. Е. Панов. Комбинаторные формулы для χy-рода полиориентированного квазиторического
многообразия. Успехи Мат. Наук 54 (1999), вып. 5, стр. 169–170.
[15] Т. Е. Панов. Роды Хирцебруха многообразий с действием тора. Известия РАН, сер. матем. 65
(2001), вып. 3, стр. 123–138.
[16] Т. Е. Панов. Торические множества типа Кемпфа–Несс. Труды Матем. Инст. им. В. А. Стек-
лова, т. 263 (2008), стр. 159–172.
[17] V. Buchstaber and T. Panov. Torus actions determined by simple polytopes. Contemp. Math.,
vol. 258, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 2000, pp. 33–46.
[18] V. Buchstaber, T. Panov and N. Ray. Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds.
Moscow Math. J. 7 (2007), no. 2, 219–242.
[19] H. Maeda, M. Masuda and T. Panov. Torus graphs and simplicial posets. Advances in Math. 212
(2007), no. 2, 458–483.
[20] M. Masuda and T. Panov. On the cohomology of torus manifolds. Osaka J. Math. 43 (2006), 711–746.
[21] T. Panov. Cohomology of face rings, and torus actions, in “Surveys in Contemporary Mathematics”.
London Math. Soc. Lecture Note Series, vol. 347, Cambridge, U.K., 2008, pp. 165–201.
[22] T. Panov and N. Ray. Categorical aspects of toric topology , in: “Toric Topology” (M. Harada et al,
eds.). Contemp. Math., vol. 460, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, pp. 293–322.
[23] T. Panov, N. Ray and R. Vogt. Colimits, Stanley–Reiner algebras, and loop spaces. Progress in
Math., vol. 215, Birkh¨auser, Basel, 2004, pp. 261–291.
Из совместных работ в диссертацию включены результаты автора.

1   2   3   4   5   6   7   8

Разместите кнопку на своём сайте:
поделись


База данных защищена авторским правом ©dis.podelise.ru 2012
обратиться к администрации
АвтоРефераты
Главная страница