Существенная размерность и бирациональные инварианты алгебраических торов


Скачать 67,54 Kb.
PDF просмотр
НазваниеСущественная размерность и бирациональные инварианты алгебраических торов
КРУТИКОВ Юрий Юрьевич
Дата конвертации17.08.2012
Размер67,54 Kb.
ТипАвтореферат
СпециальностьМатематическая логика, алгебра и теория чисел
Год2010
На соискание ученой степениКандидат физико-математических наук
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
КРУТИКОВ Юрий Юрьевич
СУЩЕСТВЕННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ И БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ
ИНВАРИАНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОРОВ
01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Санкт-Петербург
2010

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии механико–математического
факультета Самарского государственного университета
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор
ВОСКРЕСЕНСКИЙ Валентин Евгеньевич
Официальные оппоненты: доктор
физико-математических
наук,
член-
корреспондент РАН
ПАНИН Иван Александрович
(Санкт-Петербургское отделение Математическо-
го института им. В.А. Стеклова РАН)
кандидат физико-математических наук, доцент
ЛУЗГАРЕВ Александр Юрьевич
(Санкт-Петербургский государственный универ-
ситет)
Ведущая организация:
Математический институт им. В.А. Стеклова
РАН
Защита диссертации состоится «
»
20
года в
ча-
сов на заседании совета Д 212.232.29 по защите докторских и кандидатских
диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по ад-
ресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горь-
кого Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034,
Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.
Защита состоится по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки,
27, комн. 311 (помещение ПОМИ РАН).
Автореферат разослан «
»
20
года.
Ученый секретарь
диссертационного совета
В.М. Нежинский.

Общая характеристика работы
Актуальность исследования. Алгебраический тор — это один из ба-
зовых элементов структурной теории алгебраических групп. Если основное
поле является алгебраически замкнутым, то теория алгебраических торов
тривиальна. Все меняется при рассмотрении алгебраических торов над неза-
мкнутым полем. Изучение таких торов действительно многогранно, так как
приводит к постановке комбинаторных, алгеброгеометрических и арифмети-
ческих задач. В данной работе мы затрагиваем лишь малую часть этой об-
ласти математического знания. Более конкретно, мы ведем исследования в
двух направлениях: первое из них — классическая проблема бирациональ-
ной классификации алгебраических торов, второе — проблема вычисления
существенной размерности линейных алгебраических групп. Интерес к про-
блеме рациональности алгебраических торов, определенных над незамкну-
тым полем, не ослабевает уже более сорока лет. Эта проблема почти всегда
редуцируется к вычислению основного бирационального инварианта алгебра-
ического тора T . Один из важных результатов В.Е. Воскресенского состоит
в том, что тривиальность этого инварианта равносильна стабильной рацио-
нальности алгебраического тора. Уже в момент появления этого результата
была высказана гипотеза, что стабильно рациональный тор является рацио-
нальным над полем определения. В недавно вышедшей монографии Воскре-
сенского представлено доказательство этой давно стоявшей проблемы. Заме-
тим, что данный результат имеет весьма интересное прикладное значение в
области торической криптографии: на базе рациональных торов возможно
построение криптосистем с очень хорошими параметрами.
Существует несколько путей исследования рациональности алгебраиче-
ских торов. Один из них связан с рассмотрением максимальных торов в связ-
ных полупростых алгебраических группах. Известно, что группа разложения
Γgen общего тора Tgen (определенного над полем функций многообразия всех
максимальных торов) лежит между группой Вейля и группой автоморфизмов
системы корней: W (R) ⊂ Γgen ⊂ A(R). Максимальный k-тор T ⊂ G называ-
ется тором без аффекта, если Π = Γgen. Бирациональная геометрия торов без
аффекта в полупростых группах стала изучаться более четверти века назад.
В пионерской работе данного направления В.Е. Воскресенский и Б.Э. Куняв-
ский разобрали случаи максимальных торов без аффекта в присоединенных
3

и односвязных классических группах. Их результаты получили обобщение в
работе А.А. Клячко, в которой он установил выполнение принципа Хассе и
слабой аппроксимации для максимальных торов без аффекта в полупростых
алгебраических группах, определенных над полем алгебраических чисел сле-
дующих типов: внутренние формы Шевалле, односвязные группы, присоеди-
ненные группы и простые группы. Обе эти работы в основном посвящены вы-
числению группы H1(k, Pic X), которая является бирациональным инвариан-
том k-тора T . Здесь X — это гладкая проективная модель тора T . Напомним,
что всякий k-тор T с минимальным полем разложения L может быть вложен
в гладкое проективное k-многообразие X, тогда X = X ⊗k L и есть проек-
тивная модель тора T (такая проективная модель для тора существует над
любым полем). Когомологический бирациональный инвариант H1(k, Pic X)
имеет важное значение, так как вычисление этой группы позволяет устано-
вить выполнение принципа Хассе и слабой аппроксимации, а значит, имеет
важное значение не только для бирациональной геометрии алгебраических
торов, но и для их арифметических приложений. Затем исследователи скон-
центрировали свое внимание на проблеме рациональности торов без аффекта
в полупростых группах. К настоящему времени эта проблема полностью ре-
шена. В совместной работе А. Кортелла и Б.Э. Кунявского разобраны все
торы без аффекта в простых односвязных и присоединенных группах и уста-
новлена нерациональность этих торов за исключением пяти рациональных
случаев: rk G ≤ 2; G — внутренняя форма присоединенной группы типа Al;
G — форма присоединенной группы типа A2l; G — форма присоединенной
группы типа Bl; G — форма односвязной группы типа Cl. И наконец, полный
ответ (включая промежуточные группы) получен в работе Н. Лемир, В.Л.
Попова и З. Райхштейна "On the Cayley degree of an algebraic group". Тем не
менее на данный момент почти нет информации о когомологических бираци-
ональных инвариантах H1(F, Pic X) для нерациональных торов без аффекта,
где F ⊂ L — промежуточное расширение поля k. В данной работе в главе 2
мы вычисляем все когомологические бирациональные инварианты для тора
без аффекта в полупростой исключительной группе типа F4.
Другой подход к изучению рациональности алгебраических торов — это
последовательное изучение торов размерности 1, 2, и т.д. Как известно, все
алгебраические торы размерности один и два являются рациональными над
4

полем определения. Первый пример нерационального алгебраического тора
(трехмерный тор с биквадратичным полем разложения) был найден К. Ше-
валле. Б.Э. Кунявский же получил полную бирациональную классификацию
трехмерных алгебраических торов. Уже по поводу четырехмерных торов ма-
ло что известно. Настоящая работа является первым систематическим шагом
в получении бирациональной классификации четырехмерных торов.
Кроме этого, диссертация посвящена изучению существенной размерно-
сти алгебраического тора. Для исследователя, независимо от области иссле-
дования понятие параметра является базовым. Более того, большой инте-
рес вызывает любой способ уменьшения количества параметров, определяю-
щих изучаемую систему. В середине 90-х годов прошлого века Дж. Булер и
З. Райхштейн ввели понятие существенной размерности для алгебраических
групп над замкнутым полем характеристики 0: неформально говоря, суще-
ственная размерность равна минимальному количеству параметров, необхо-
димых для описания данной алгебраической структуры. Они также устано-
вили связь теории существенной размерности с 13-ой проблемой Гильберта.
Позже в ситуации произвольного поля понятие существенной размерности,
используя функториальный подход, дал А.С. Меркурьев. Несмотря на отно-
сительно простую структуру алгебраического тора, вопрос вычисления су-
щественной размерности этой алгебраической группы почти не был затронут
математиками. Первое значительное продвижение в этом направлении было
достигнуто в недавно вышедшем препринте Р. Лотшера, М. МакДональда, А.
Майера и З. Райхштейна "Essential p-dimension of algebraic tori". Настоящая
же работа связана с вычислением существенной размерности алгебраических
торов малой размерности и получением верхней границы существенной раз-
мерности для произвольных алгебраических торов.
Цель работы. Целями работы являются изучение бирациональной гео-
метрии четырехмерных алгебраических торов, а также нахождение границ
существенной размерности алгебраических торов.
Методы исследования. Основным инструментом в исследованиях яв-
ляются методы целочисленных представлений групп Галуа и классификация
соответствующих целочисленных решеток. Важный аппарат в исследовании
– это группы Пикара соответствующих моделей и их группы когомологий. В
работе использован алгебраический метод построения вялых (канонических)
5

резольвент модуля Галуа.
Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, получен-
ные автором лично.
Основные результаты. В диссертации получены следующие результа-
ты:
i. Вычислены когомологические бирациональные инварианты четырех-
мерных алгебраических торов. Построены вялые резольвенты. Вычислены
бирациональные инварианты максимального тора без аффекта в связной по-
лупростой группе типа F4.
ii. Получена оценка существенной размерности произвольных алгебраиче-
ских торов, вычислена существенная размерность торов малой размерности.
iii. Получена классификация аффинных представлений трехмерных ал-
гебраических торов.
Научная новизна. Все представленные в диссертации результаты явля-
ются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретиче-
ский характер. Все основные результаты составляют решение задач, имею-
щих существенное значение для исследования структурной теории и бираци-
ональной геометрии алгебраических торов. Результаты могут представлять
интерес для специалистов Московского, Санкт-Петербургского, Саратовско-
го, Самарского государственных университетов и Математического институ-
та им. В.А. Стеклова РАН.
Апробация результатов. Основные научные и практические результа-
ты исследований по теме диссертации докладывались на научных семинарах
кафедры алгебры и геометрии Самарского государственного университета,
на Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной
80-летию В.Е. Воскресенского (2007, Самара), на Международной алгебра-
ической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д.К. Фад-
деева (2007, Санкт-Петербург), на Международной алгебраической конфе-
ренции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора А.Г. Куроша
(2008, Москва), на летней школе-конференции по проблемам алгебраической
геометрии для молодых математиков европейской части России (2008, Яро-
славль), на Международной научной конференции, посвящҷнной 100-летию
со дня рождения профессора В.В. Вагнера (2008, Саратов), на летней школе-
6

конференции для молодых математиков (2009, Самара), на Санкт-Петербург-
ском алгебраическом семинаре им. Д.К. Фаддеева (руководитель — проф.
А.В. Яковлев, 2009, Санкт-Петербург).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, из них 2 статьи
в журнале из перечня, рекомендованного ВАК, и 5 тезисов докладов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
трех глав, списка используемой литературы, содержащего 38 наименований, и
трех приложений. Начиная с первой, главы разделены на пункты. В каждой
главе применены одна нумерация для определений, теорем, следствий, за-
мечаний и алгоритмов и отдельная нумерация для формул. Для нумерации
примеров и таблиц используются сквозные нумерации. Общий объем диссер-
тации 102 страницы без приложений, 119 страниц с приложениями.
Содержание диссертации
Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, фор-
мулируются задачи, решаемые в диссертации, и дается обзор используемых
методов и основных результатов диссертации.
Глава 1 носит подготовительный характер. В ней собран весь необходи-
мый материал из теории функторов и групповых схем, а также теории суще-
ственной размерности, требуемый в дальнейшем. Глава содержит краткое из-
ложение некоторых результатов, касающихся аффинных схем, форм и одно-
мерных когомологий алгебраических многообразий, группы Пикара неособой
проективной модели и основного бирационального инварианта линейной ал-
гебраической группы, существенной размерности линейных алгебраических
групп.
В частности, в этой главе дается определение основного объекта исследо-
вания настоящей работы — алгебраического тора как аффинной k-схемы:
T = Spec(L[ n
Z ])Π,
где T — алгебраический тор, определенный над произвольным полем k, L—
расширение Галуа поля k с конечной группой Π, называемое полем разло-
жения тора T,
n
Z
— Π-модуль. Подобное определение устанавливает двой-
ственность категорий k-торов, разложимых над L, и категории Π-модулей
конечного Z-ранга без кручения (решеток Галуа).
7

Для всякого Π-модуля T можно построить точную последовательность
0 → T → S → N → 0,
(∗)
называемую вялой резольвентой модуля T , где S — пермутационный Π-мо-
дуль, а N — вялый, то есть удовлетворяющий условию H−1(π, N ) = 0 для
любой подгруппы π группы Π. Модуль N , называемый модулем Пикара, опре-
деляемый однозначно с точностью до добавления и сокращения на пермута-
ционные прямые слагаемые, то есть с точностью до подобия, был введен и
изучен В.Е. Воскресенским, поместившим точную последовательность (∗) на
титульном листе своей книги "Алгебраические торы". Класс подобия p(T ) вя-
лого модуля N является бирациональным инвариантом тора T и называется
классом Пикара тора T, так как имеет своим представителем геометрический
модуль Пикара Pic X проективной неособой модели X ⊃ T тора T. Наряду
с основным бирациональным инвариантом p(T ), алгебраический тор имеет
и производные когомологические бирациональные инварианты — H1(π, N ),
где π является подгруппой группы Π.
Также в этой главе приведено функториальное понятие существенной раз-
мерности алгебраической группы. После определения существенной размер-
ности для ковариантых функторов из категории расширений поля k в малую
категорию множеств существенная размерность edk(G) произвольной алгеб-
раической группы G над полем k определяется следующим образом. Пусть
H1(K, G) := H1(ΓK, G(Ks)), где K — расширение поля k, Ks — его сепа-
рабельное замыкание и ΓK = Gal(Ks/K). Тогда, H1( , G) является кова-
риантым функтором из категории расширений поля k в малую категорию
множеств, и
edk(G) = edk(H1( , G)).
Глава 2 посвящена вычислению когомологических бирациональных ин-
вариантов H1(k, Pic X), здесь, как и ранее, X — это проективная модель тора
T . Первый этап решения этой задачи — это построение канонической резоль-
венты для алгебраического тора. Мы использовали алгебраический метод по-
строения, предложенный Колье-Теленом и Сансюком. Пусть имеем эпимор-
0
физм Π-модулей S
T , где S — некоторый пермутационный Π-модуль.
0
Рассмотрим гомоморфизмы Sπ → (T )π для всех подгрупп π группы Π.
Добавляя, если необходимо, прямые пермутационные слагаемые к S, можно
8

добиться того, что данные отображения станут сюрьективными для любой
подгруппы π. Тогда рассмотрим точную последовательность:
0
0
0 −→ N
−→ S −→ T
−→ 0,
(∗∗)
которая в свою очередь индуцирует точную последовательность когомологий
0
0
0
0 → (N )π → Sπ → (T )π → H1(π, N ) → 0.
0
А это в свою очередь будет означать, что H1(π, N ) = 0, ∀π ≤ Π. Так как
0
H−1(π, N ) = H1(π, N ) = 0, то, обратив по двойственности точную последо-
вательность (∗∗), мы получим каноническую резольвенту.
Реализация этого метода привела к алгоритму оптимального перебора
подгрупп π, результат работы этого алгоритма — это список тех подгрупп в
группе Π, для которых достаточно проверить условие сюрьективности отоб-
0
ражения Sπ
(T )π, чтобы получить вялую резольвенту.
Пусть T — произвольный четырехмерный k-тор. Следуя определению то-
ра как аффинной групповой k-схемы, тор T задается двумя объектами: мини-
мальным полем разложения L и действием Π = Gal(L/k) на группе характе-
ров тора T , то есть представлением φ : Π → GL(4, Z) (образ φ(Π) также будем
обозначать Π, так как из контекста можно понять, о какой группе идет речь).
Группа Π называется группой разложения тора T , она является конечной
подгруппой в GL(4, Z). Согласно теореме Жордана, Π содержится в одной из
максимальных конечных подгрупп W в GL(4, Z). Таких подгрупп конечное
число; все они описаны С.С. Рышковым. Если мы построим каноническую
резольвенту с вялым модулем N для алгебраического тора с максимальной
группой разложения, то ограничение на подгруппу Π даст нам каноническую
резольвенту и для тора T , а значит, мы вычислим и H1(Π, N ). Таким образом,
задача вычисления H1(k, Pic X) для произвольного четырехмерного k-тора
сведена к вычислению таблиц инвариантов H1(π, N ), где π — произвольная
подгруппа в максимальной конечной подгруппе в GL(4, Z). Заметим, что нам
достаточно рассмотреть неразложимые максимальные подгруппы, так как в
противном случае рассматриваемый тор T является прямым произведением
торов меньшей размерности, для которых бирациональная классификация
уже проведена. В обозначениях С.С. Рышкова максимальные конечные под-
группы в GL(4, Z) являются группами автоморфизмов следующих квадра-
9

тичных форм:
C4 : x2 + x2 + x2 + x2,
1
2
3
4
S4 : x2 + x2 + x2 + x2 − x
1
2
3
4
1x2 − x2x3 − x3x4,
P4 : 4x2 + 4x2 + 4x2 + 4x2 − 2x
1
2
3
4
1x2 − 2x1x3 − 2x1x4 − 2x2x3 − 2x2x4 − 2x3x4,
T : 4x2 + 4x2 + 4x2 + 4x2 + 2x
1
2
3
4
1x2 − 4x1x3 − 4x1x4 − 4x2x3 − 4x2x4 + 2x3x4,
B : x2 + x2 + x2 + x2 − x
1
2
3
4
1x2 − x3x4,
Q4 : x2 + x2 + x2 + x2 + x
1
2
3
4
1x2 − x1x3 − x1x4 − x2x3 − x2x4.
Торы с этими группами разложения будем обозначать так же, как обознача-
ются сами квадратичные формы, а сами группы разложения — W0, W S, W P,
W T, W B и W Q соответственно. Далее мы рассматриваем случай за случаем.
Торы C4 и S4 рациональны, это следует из результатов Воскресенского и
совместного результата Воскресенского и Кунявского. Для торов P4, T, B бы-
ли построены канонические резольвенты для силовских нециклических под-
групп в соответствующих группах разложения. Несмотря на то, что основной
бирациональный инвариант этих торов мог оказаться ненулевым (например,
для P4 это следует из результатов Л. Ле Брюна), когомологические инвариан-
ты оказались тривиальными. Наконец, рассмотрим тор Q4. Этот тор является
максимальным тором без аффекта в связной полупростой группе типа F4. Это
замечание позволило использовать комбинаторику группы Вейля W (F4) для
упрощения вычислений.
Во-первых, мы предложили следующий метод перечисления элементов
W (F4) с помощью четырехмерных массивов. Так как Группа W (F4) сопря-
жена над Q группе ортогональных матриц O(4, Q), более точно, W (F4) =


1 0 0 1/2
0 1 0 1/2
= T −1O(4,


Q) T , где T = 

— матрица перехода от базиса
 0
0 1 1/2 
0 0 0 1/2
стандартной решетки L0 к базису стандартной решетки L2. В свою очередь
группа O(4, Q) в качестве нормальной подгруппы содержит группу O(4, f0)
целочисленных автоморфизмов квадратичной формы f0 = x2 + x2 + x2 + x2.
1
2
3
4
10

Эта группа является полупрямым произведением S
4
4
Z , причем
2


−1
1
1 −1
1
−1 −1 −1 −1
O(4,


Q) =< O(4, f0), λ >, где λ =

 .
(∗ ∗ ∗)
2


1
1 −1
1 
1
1 −1 −1
Со всякой матрицей ||aij|| из O(4, f0) можно биективно связать отображе-
ние σ : {1, 2, 3, 4} → {±1, ±2, ±3, ±4} такое, что σ(k) = ik равно номе-
ру строки в k-ом столбце матрицы ||aij||, содержащей ненулевой элемент,
умноженному на знак этого элемента. Табличная запись отображения σ име-
1
2
3
4
ет вид
. Если зафиксируем первую строку этой таблицы,
i1 i2 i3 i4
то для задания σ достаточно записать вторую строку. По этой записи лег-
ко восстановить соответствующую матрицу из W (F4). Зафиксируем обозна-
чение τ для элемента W (F4) вида T −1λ T , который нельзя представить 4-
элементным массивом. В силу (∗ ∗ ∗) любой элемент W (F4) можно записать
в виде σ · τ i, i = 0..2, где σ соответствует некоторому 4-элементному массиву.
Далее мы классифицировали все нециклические подгруппы в силовской
2-группе W (F4) с точностью до сопряжения, используя тот факт, что эта
группа изоморфна D
4
4
Z .
2
Мы построили каноническую резольвенту для тора Q4. Средствами го-
мологической алгебры мы вычислили когомологические инварианты этого
тора для всех с точностью до сопряжения подгрупп группы W (F4). Наконец,
собирая вместе все вычислительные результаты этой главы, а также резуль-
таты С.Ю. Попова о трехмерных алгебраических торах, получаем основную
теорему 2.8.
Теорема 2.8. Пусть T — четырехмерный алгебраический k-тор с группой
разложения W , X — гладкая проективная модель тора T , X = X ⊗ ks. Тогда
i. когомологический бирациональный инвариант H1(W, Pic X) = Z2 тогда и
только тогда, когда
i.i. тор T = T1 ×k T3, где T1 — произвольный одномерный k-тор, а T3 —
трехмерный k-тор, группа разложения которого целочисленно эквивалентна
одной из следующих групп:








1 0 −1
0 1 −1
−1
0
0
1 −1
0
 0
0 −1  ,  1 0 −1  ,  0
−1 0  ,  0 −1
0  ,
0 1 −1
0 0 −1
0
−1 1
0
0
−1
11





0 1 −1
−1 0 0
 1
0 −1  ,  −1 0 1 
0 0 −1
−1 1 0
или
i.ii. группа W целочисленно эквивалентна одной из следующих групп в
обозначениях замечания 2.3
є
Порядок подгруппы W
Система образующих W
1
4
(−1 − 234), (−12 − 3 − 4)
2
4
(−12 − 34), (−1432)
3
8
(−12 − 34), (1 − 23 − 4), (−1432)
4
8
(−143 − 2), (−12 − 34)
5
8
(−12 − 34), (1432), (−1 − 23 − 4)
6
8
(1 − 4 − 32), (−1 − 2 − 34)
7
8
(34 − 1 − 2), (−12 − 34)
8
16
(−143 − 2), (123 − 4), (−12 − 34)
9
16
(−2341), (1 − 23 − 4)
10
16
(34 − 1 − 2), (−1432), (−12 − 34)
11
16
(34 − 1 − 2), (−1 − 234), (−21 − 43)
12
16
(−2341), (14 − 32)
13
32
(−2341), (−1432), (1 − 23 − 4)
14
48
(2431) · τ, (−1 − 234)
15
48
(−2341), τ
16
96
(−12 − 34) · τ, (−2341)
Таблица 8.
ii. когомологический бирациональный инвариант H1(W, Pic X) = Z2 ⊕ Z2
тогда и только тогда, когда группа W целочисленно эквивалентна одной из
следующих групп в обозначениях замечания 2.3
є
Порядок подгруппы W
Система образующих W
1
8
(34 − 1 − 2), (2 − 1 − 43)
2
24
(2 − 4 − 31) · τ, (−3 − 412)
Таблица 9.
iii. в остальных случаях H1(W, Pic X) = 0.
Глава 3 посвящена оценке и вычислению существенной размерности ал-
гебраических k-торов. Если k — это алгебраически замкнутое поле, то алгеб-
раический тор — это специальная группа Серра, а значит, его существенная
размерность равна 0. Мы рассматриваем случай произвольного поля k и ис-
пользуем функториальное определение существенной размерности алгебра-
ической группы, которое принадлежит А.С. Меркурьеву. Непосредственное
12

применение определения существенной размерности приводит к верхней гра-
нице, которую мы обозначили ed(T ), для существенной размерности алгеб-
раического тора T .
Теорема 3.1. Пусть T алгебраический k-тор, тогда
edk(T ) ≤ min dim(T1),
(3.2)
где минимум берется по всем точным последовательностям алгебраических
k-торов
1 −→ T −→ S −→ T1 −→ 1,
где S — квазиразложимый алгебраический тор.
Отметим, что имеются случаи, когда неравенство в теореме 3.1 строгое.
Опишем его. Пусть L6/k — циклическое расширение поля k, [L : k] = 6,
Π = Gal(L6/k) =< σ, σ6 = 1 > и L2 = L<σ2>, L
. Рассмотрим
6
3 = L<σ3>
6
следующий k-тор T , заданный точной последовательностью
N
1 −→ T −→ R
2·N3
L
−→ G
2/k (Gm) × RL3/k (Gm)
m −→ 1,
где N2 и N3 — нормы расширений L2/k и L3/k, соответственно. Имеем
edk(T ) = 0, а по теореме 3.1 ed(T ) = 1.
Далее мы предлагаем алгоритм вычисления ed(T ) для произвольного ал-
гебраического тора. После чего приводим тип алгебраических торов, для ко-
торых этот алгоритм дает точное значение существенной размерности.
Теорема 3.4. Если T = R1
(
M/F Gm) — норменный F -тор, где F /k и M/F —
промежуточные сепарабельные расширения для расширения L/k и k ⊂ F ⊂
M ⊂ L, тогда
edk(RF/k(T )) = [F : k].
Эта теорема имеет важное следствие, которое позволяет получить ниж-
нюю оценку существенной размерности для достаточно широкого класса ал-
гебраических торов.
Следствие 3.5. Если алгебраический k-тор T допускает замкнутое вло-
жение в тор N = RF/k(R1
(
M/F Gm)), где F /k, M/F — конечные сепарабельные
расширения полей и k ⊂ F ⊂ M ⊂ L, то
edk(T ) ≥ [F : k].
13

Далее мы рассматриваем торы малой размерности, используя их аффин-
ную реализацию. Так как чаще всего мы получаем верхнюю и нижнюю оцен-
ки edk(T ), то в силу неравенств для алгебраических k-торов
max{edk(T1), edk(T2)} ≤ edk(T1 × T2) ≤ edk(T1) + edk(T2),
мы сконцентрировали свое внимание на неразложимых алгебраических то-
рах. Результаты вычислений представлены в теоремах 3.7, 3.8, 3.9 и соот-
ветствующих таблицах 10, 13, 14.
Теорема 3.7. (о существенной размерности двумерных алгебра-
ических торов) Существенная размерность неразложимых двумерных ал-
гебраических k-торов удовлетворяет условиям таблицы 10.
Двумерный алгебраический тор
ed
T 2 = R
1
L/k(Gm)
=0
T 2 = R1 (
= R1
(
2
L/k Gm), T 2
6
L/F Gm)
=1
T 2 = R
(
= R
(
3
F/k
R1L/F Gm) , T 24
F/k
R1L/F Gm) , =2
T 2 = R
(
7
F
G
2/k
R1F
m)
4/F2
T 2 = R
(
(
5
F
G
G
2/k
R1L/F
m)
RF
m)
,
≥ 3
2
3/k
R1L/F3
T 2 = R
(
(
8
F
G
G
3/k
R1F
m)
RF
m)
≤ 4
6/F3
2/k
R1F6/F2
Таблица 10.
Мы приводим аффинную реализацию тридцати четырех неразложимых
трехмерных алгебраических торов и фиксируем их нумерацию T1, T2, ..., T34.
Теорема 3.8. Для неразложимых трехмерных алгебраических торов T
существенная размерность удовлетворяет условиям таблицы 13 (используем
нумерацию торов из Таблицы 11)
14

Трехмерный алгебраический тор
ed
T1, T10
=0
T3, T6, T16, T20, T29
=1
T2, T5, T7, T15
≤ 1
T8, T9, T18, T19, T23, T26, T27, T32
=3
T4, T12
≥ 2
≤ 5
T11, T13, T14, T17, T22, T24, T28, T33
≥ 4
≤ 5
T21, T25, T30, T31, T34
≥ 6
≤ 9
Таблица 13.
Теорема 3.9. Для четырехмерных алгебраических торов с максималь-
ной группой разложения существенная размерность определяется следующей
таблицей
Четырехмерные алгебраические торы
ed
C4
=4
P4
≥ 5
≤ 6
B4
≥ 6
≤ 8
T
≥ 9
≤ 14
S4
≥ 10
≤ 16
Q4
≥ 12
≤ 20
Таблица 14.
Приложение A, B, C. Здесь приведены результаты работы алгоритмов
вычисления когомологических бирациональных инвариантов для четырех-
мерных алгебраических торов из главы 2.
15

Список публикаций по теме диссертации
Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:
1. Крутиков Ю.Ю. Аффинные представления трехмерных алгебраических
торов // Вестник Самарского государственного университета, естественнона-
учная серия, №7(57), Самара, 2007, C. 92-106.
2. Крутиков Ю.Ю. Бирациональные инварианты тора без аффекта в исклю-
чительной группе типа F4 // Вестник Самарского государственного универ-
ситета, естественнонаучная серия, №6(72), Самара, 2009, C. 58-68.
В прочих изданиях:
3. Крутиков Ю.Ю. Аффинные представления трехмерных торов // Тезисы
докладов Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвя-
щенной 80-летию В.Е. Воскресенского. Самара, 2007. С. 31-32.
4. Крутиков Ю.Ю. Affine representations of three dimensional algebraic tori.
// Тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвя-
щенной 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддеева. Санкт-Петербург, 2007.
С.128-129.
5. Крутиков Ю.Ю. Каноническая резольвента торов типа Tpqr // Тезисы
докладов Международной алгебраической конференции, посвященная 100-
летию со дня рождения А.Г. Куроша. М.: Изд-во механико-математического
факультета МГУ, 2008, с. 142-143.
6. Крутиков Ю.Ю. Каноническая резольвента торов типа Tpqr // Тезисы до-
кладов Международной научной конференции, посвященной 100-летию со
дня рождения профессора В.В. Вагнера. Саратов: Изд-во Саратовского уни-
верситета, 2008, с. 83-85.
7. Крутиков Ю.Ю. Существенная размерность алгебраических торов // Тези-
сы докладов летней школы-конференции "Алгебра Ли, алгебраические груп-
пы и теория инвариантов", Самара, 2009, С. 29-30.
16


Разместите кнопку на своём сайте:
поделись


База данных защищена авторским правом ©dis.podelise.ru 2012
обратиться к администрации
АвтоРефераты
Главная страница