Приближ¨ енные методы решения нелинейных спектральных задач


Скачать 141,61 Kb.
PDF просмотр
НазваниеПриближ¨ енные методы решения нелинейных спектральных задач
страница1/12
Дата конвертации12.08.2012
Размер141,61 Kb.
ТипАвтореферат
Год2010
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
На правах рукописи
СОЛОВЬ¨
ЕВ Сергей Иванович
ПРИБЛИЖ¨
ЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
01.01.07 – вычислительная математика
А в т о р е ф е р а т
диссертации на соискание учёной степени
доктора физико-математических наук
КАЗАНЬ – 2010

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики феде-
рального государственного автономного образовательного учрежде-
ния высшего профессионального образования «Казанский (Приволж-
ский) федеральный университет».
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Андреев Владимир Борисович
доктор физико-математических наук,
доцент Желтухин Виктор Семёнович
доктор физико-математических наук,
профессор Рябов Виктор Михайлович
Ведущая организация
Институт математики и механики
Уральского отделения Российской
академии наук, г. Екатеринбург
Защита состоится 28 октября 2010 года в 14 часов 30 минут на
заседании диссертационного совета Д 212.081.21 в Казанском феде-
ральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремл¨евская
18, корпус 2, ауд. 217.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени
Н.И. Лобачевского Казанского федерального университета.
Автореферат разослан 27 сентября 2010 года.
Уч¨еный секретарь
диссертационного совета
доктор физ.-мат. наук, профессор
О.А. Задворнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследований. Диссертация посвящена
разработке приближенных методов для решения прикладных задач
на собственные значения. В качестве приложений рассматривается
класс задач, описывающих собственные колебания механических си-
стем с массами. Такие задачи издавна интересовали исследователей.
Еще Пуассон в своих мемуарах изучал задачу о движении груза, под-
вешенного на тонкой упругой нити. Подобные задачи возникают в
теории индикатора паровой машины, в теории измерительных при-
боров, при исследовании крутильных колебаний вала с маховиком на
конце и разного рода "дрожащих" клапанов. Особую актуальность
задачи этого типа приобрели в связи с изучением устойчивости вибра-
ций крыльев самолета. Для решения этой задачи необходимо вычис-
ление собственных частот крыла с присоединенными моторами. Про-
стейшая модель крыла – балка переменного сечения с массами. Бо-
лее точная модель крыла приводит к исследованию собственных ко-
лебаний нагруженной пластины. С развитием судостроения, самоле-
тостроения, космической техники, химической и нефтяной промыш-
ленности возникла потребность расчета оболочечных конструкций,
нагруженных присоединенными элементами: приборами, моторами,
элементами автоматики, узлами машин. Хотя присоединенные эле-
менты имеют малые размеры, их влияние на устойчивость системы
является определяющим.
При учете упругости закрепления масс задача сильно усложняет-
ся возникновением нелинейности по спектральному параметру. Изве-
стен метод решения задачи с помощью характеристического уравне-
ния, содержащего разложение функции Грина по собственным функ-
циям несущей конструкции. Такой метод является достаточно про-
стым и эффективным, если известны аналитические формулы для
собственных значений и собственных функций несущей конструкции.
Но это, к сожалению, возможно только для весьма ограниченного
3

класса механических систем. Данный класс задач определяется воз-
можностью разделения переменных в уравнениях, что накладывает
ограничения на область, вид коэффициентов и граничных условий.
В настоящей диссертации предлагается и обосновывается подход,
свободный от перечисленных ограничений. Этот подход опирается на
формулировку исходной задачи как задачи на собственные значения,
монотонно зависящей от спектрального параметра, с последующим
применением сеточных методов.
Цель работы. Целью настоящей работы является теоретическое
исследование разрешимости нелинейных задач на собственные значе-
ния, разработка и обоснование приближенных методов их решения.
Методика исследования. Проведенные исследования опирают-
ся на спектральную теорию в гильбертовом пространстве, теорию ап-
проксимации в гильбертовом пространстве, теорию обобщенных ре-
шений дифференциальных задач, теорию пространств Соболева, тео-
рию метода конечных элементов и теорию квадратурных формул.
Научная новизна. Предложенный и разработанный в диссер-
тации подход для нахождения собственных колебаний механических
конструкций с упруго присоединенными массами, обладает желаемой
универсальностью, работает в самых общих ситуациях, возникающих
на практике, и приводит в итоге к численным алгоритмам, имеющим
вычислительные затраты такие же, как и в случае задач без масс.
Практическая значимость. Полученные в диссертации резуль-
таты могут быть применены при решении широкого круга нелиней-
ных задач на собственные значения, возникающих в науке и технике.
Такие задачи возникают в теории диэлектрических волноводов, физи-
ке плазмы, квантовой механике, гидродинамике и теории упругости.
Основные результаты диссертации.
1. Установлено существование решений нелинейных задач на соб-
ственные значения в гильбертовом пространстве.
2. Доказана сходимость и получены оценки погрешности прибли-
4
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

Разместите кнопку на своём сайте:
поделись


База данных защищена авторским правом ©dis.podelise.ru 2012
обратиться к администрации
АвтоРефераты
Главная страница