Двойные алгебры ли


Скачать 67,78 Kb.
PDF просмотр
НазваниеДвойные алгебры ли
Дата конвертации21.08.2012
Размер67,78 Kb.
ТипАвтореферат
СпециальностьГ. Улья- новск, ул. Л.Толстого, д. 42, УлГУ, Управление научных исследований
Год2009
На соискание ученой степениКандидат физико-математических наук
На правах рукописи
КОНОВАЛОВА Елена Игоревна
ДВОЙНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
01.01.06  математическая логика, алгебра и теория чисел
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Ульяновск  2009 г.

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии в государственном
образовательном учреждении высшего профессионального образования
Самарский государственный университет.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Панов Александр Никола-
евич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических на-
ук, профессор Петроградский Виктор
Михайлович,
доктор физико-математических наук,
профессор Скрябин Сергей Маркович
Ведущая организация:
СанктПетербургское
отделе-
ние
Математического
института
им. В. А. Стеклова РАН
Защита диссертации состоится 14 октября 2009 года в 1000 часов на заседа-
нии диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государствен-
ном университете по адресу: ул. Набережная р. Свияга, 106, корп. 1, ауд.
703.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государ-
ственного университета, с авторефератом  на сайте вуза http://www.uni.ulsu.ru
Отзывы по данной работе просьба направлять по адресу: 432000, г. Улья-
новск, ул. Л.Толстого, д. 42, УлГУ, Управление научных исследований
Автореферат разослан ѕ...ї сентября 2009 года.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Волков М.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.
Актуальность исследования. Понятие классической r-матрицы впер-
вые появилось в начале 80-х годов прошлого века, в работах Е.К.Скля-
нина1,2. Классические r-матрицы являются квазиклассическим аналогом
квантовых r-матриц, которые возникают в квантовом методе обратной за-
даче рассеивания. Самостоятельный интерес классические r-матрицы пред-
ставляют в связи с методом Адлера-Костанта-Саймса построения вполне
интегрируемых гамильтоновых систем и связями с групповыми скобками
Пуассона.
Дадим основные определения диссертации. Пусть g  алгебра Ли над
полем комплексных чисел C и R : g ? g  линейный оператор.
Определение 1. R  классическая rматрица, если скобка
1
[x, y]R := ([Rx, y] + [x, Ry])
(1)
2
удовлетворяет тождеству Якоби.
Определение 2. Две классические rматрицы R1 и R2 эквивалентны,
если существует ? ? Aut(g) такой, что R1 = ?R2??1.
Классическая r-матрица задает на алгебре Ли g структуру алгебры Ли
gR с коммутатором [x, y]R. Алгебру Ли g вместе с классической r-матрицей
называют двойной алгеброй Ли.
Модифицированным классическим уравнением ЯнгаБакстера (MYBE)
называется уравнение
[Rx, Ry] ? R([Rx, y] + [x, Ry]) = ?[x, y].
(2)
Уравнение MYBE является достаточным условием для того, чтобы R яв-
лялся классической rматрицей.
Заметим, что если R  классическая r-матрица (соотв. решение MYBE),
то ?R также является классической r-матрицей (соотв. решением MYBE).
1Sklyanin E.K. On complete integrability of the Landau-Lifshitz equation// Preprint LOMI, Leningrag:
LoMI, 1980, P. 3-79.
2Склянин Е.К. Квантовый метод обратной задачи рассеяния// Зап. науч. семин. ЛОМИ, 1980, т.
95, С.55-128.
3

Если ? автоморфизм алгебр Ли g, R  решение MYBE, то ?R??1 также
решение MYBE, таким образом, группа Aut(g) действует на множестве
решений MYBE.
Во множестве всех решений MYBE выделяют следующую серию реше-
ний. Пусть алгебра Ли g представлена в виде прямой суммы двух своих
подалгебр Ли как линейных подпространств: g = g1 g2, Pi  проектор на
gi параллельно дополнительной подалгебре, тогда R = P1 ? P2  решение
уравнения MYBE. Задача разложения алгебры Ли в виде суммы двух ее
подалгебр представляет самостоятельный интерес. В книге А.Л.Онищика3
задача решена для случая, когда g  компактная вещественная алгебра
Ли. В статье Ю.А.Бахтурина и др.4 исследуется вопрос, можно ли алгебру
Ли представить в виде суммы g = g1 g2 двух ее простых и нильпотентных
подалгебр.
Общая проблема заключается в классификации для заданной алгебры
Ли g всех решений MYBE с точностью до действия группы Aut(g). В слу-
чае, когда g полупростая алгебра Ли и R является кососимметрическим
оператором относительно формы Киллинга, эта задача решена в работе
А.А. Белавина и В.Г. Дринфельда5. Она равносильна описанию группо-
вых скобок Пуассона6. В своей книге А.Г. Рейман и М.А. Семенов-тян-
Шанский7 отмечают, что задача нахождения всех решений MYBE до сих
пор не решена.
Объектом исследования являются классические r-матрицы и уравнение
MYBE.
Предметом исследования являются классические r-матрицы в общей
постановке определения 1 и решения MYBE для алгебр Ли малой размер-
3Онищик Л.А. Топология транзитивных групп преобразований// М.Физматлит, 1995, 384 с.
4Bahtutin Y., Tvalavadze M., Tvalavadze T. Seems of simple and nilpotent Lie subalgebras// Common
Algebra 30 ќ9, 2002, P. 4455-4471.
5Белавин А.А., Дринфельд В.Г. О решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых
алгебр Ли// Функц.анализ, 1982, вып.3, С. 1-29.
6Дринфельд В.Г. Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрических смысл
уравнения Янга-Бакстера// ДАН СССР, 268(2),1983, С. 285-287.
7Рейман А.Г., СеменовтянШанский М.А. Интегрируемые системы// МоскваИжевск: Институт
компьютерных исследований, 2003, 352 с.
4

ности.
Цели и задачи исследования. Основная цель данной работы  клас-
сифицировать решения модифицированного уравнения Янга-Бакстера для
алгебр Ли малой размерности.
Методы исследования. Исследования, проводимые в диссертации,
основываются на основных понятиях теории классических r-матриц, ре-
зультаты второй, третьей четвертой главы диссертации основаны на тео-
реме М.А. Семенова-тян-Шанского о представлении решений уравнения
Янга-Бакстера. Доказательство теорем в диссертации основано на методах
линейной алгебры, теории линейных групп и теории групп и алгебр Ли.
Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полу-
ченные как лично автором, так и совместно с научным руководителем
проф. А.Н. Пановым. Постановка задачи выполнена научным руководи-
телем.
Достоверность результатов. Достоверность научных положений и
выводов, сформулированных в диссертации, подтверждаются строгостью
математических расчетов. Также результаты исследований обсуждались
на международных конференциях и представлены в печати.
Научная новизна. Работа носит теоретический характер. В диссер-
тации получена классификация rматриц для трехмерных алгебр Ли, по-
лучена полная классификация решений MYBE для sl(2, C) и sl(3, C). Все
представленные в диссертации результаты являются новыми.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Классификация классических rматриц в общей постановке для трех-
мерных алгебр Ли c точностью до эквивалентности.
2. Классификация разложений sl(3, C) в прямую сумму двух своих подал-
гебр как линейных подпространств с точностью до эквивалентности.
3. Классификация всех решений MYBE для sl(3, C) с точностью до экви-
валентности.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теорети-
ческий характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших
исследованиях по теории r-матриц, в построении интегрируемых систем, в
5

задачах квантования и т.д.
Апробация результатов. Основные научные и практические резуль-
таты исследований по теме диссертации докладывались на научных семи-
нарах кафедры алгебры и геометрии Самарского Государственного уни-
верситета, на конференции "Проблемы фундаментальной физики XXI ве-
ка"(2006, Самара), на Международной алгебраической конференции, по-
священной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша(2008, Москва).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, из них 2
статьи в журнале из списка ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
четырех глав, списка используемой литературы, содержащего 18 наимено-
ваний, и приложений. Начиная с первой, главы разделены на пункты. В
пределах каждой главы теоремы, предложения, леммы и формулы охва-
чены единой нумерацией в порядке их следования в тексте. Общий объем
диссертации 159 страниц без приложений, 189 страниц с приложениями.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении формулируются задачи, решаемые в диссертации, и да-
ется обзор используемых методов и основных результатов диссертации. Да-
дим краткий обзор содержания диссертации по главам.
Глава 1. В этой главе проведена классификация r-матриц для трех-
мерных алгебр Ли.
Хорошо известно, что алгебра Ли размерности три является либо про-
стой (изоморфной sl(2, C)), либо разрешимой. Первый раздел главы 1 по-
священ классификации rматриц для sl(2, C). Выберем в алгебре Ли sl(2, C)
базис Картана {x, h, y} с коммутационными соотношениями: [x, y] = h,
[h, x] = 2x, [h, y] = ?2y. Основная теорема первого раздела первой главы:
Теорема 1. Линейный оператор R : sl(2, C) ? sl(2, C) является класси-
ческой r-матрицей тогда и только тогда, когда R эквивалентен одному
из следующих операторов:
?
x
x
?
?
1
? R
= Q
+
h
1.
y
y
?
, где
2
?1, ?2, µ ? C и матрица
?
? R(h) = µh
6

?
?1
q
?
11
q12
? (Q + µE)
= 0
Q =
? Mat(2, C) удовлетворяет условию
?
,
2
q21 q22
?
? TrQ · Tr Q = 0
где Tr Q = q12 ? q21.
? R(x) = 0
?
?
2.
R(h) = ?
, где
1x
?3 = 0, ?1 = 0.
?
? R(y) = ?2x + ?3h
? R(x) = 0
?
?
3.
R(h) = ?
, где
1x + ?h
2?3 = ?1 = 0.
?
? R(y) = ?2x + ?3h + ?y
Второй раздел первой главы посвящен классификации rматриц для
трехмерных разрешимых алгебр Ли. В этом случае g имеет базис x, y1,
?
y
y
?
1
1
? adx
= A
y2 с соотношениями
y
Хорошо известно, что су-
2
y2
?
? ady y
1
2 = 0
ществует ровно пять (с точностью до изоморфизма) типов разрешимых
трехмерных алгебр Ли:
S1
0 0
1 0
0 1
A =
, S2 A =
, S3 A =
,
0 0
0 0
0 0
S4
? 0
1 1
A =
, ? = 0, S5 A =
0 1
0 1
Пусть оператор R : g ? g действует следующим образом:
? R(x) = ?x + ?
?
1y1 + ?2y2
?
?
y
, где ?, ?
1
y1
?1
1,2, ?1,2 ? C, и P ? Mat(2, C)
R
= P
+
x
?
?
?
y2
y2
?2
Теорема 2. В алгебрах Ли S1,S2,S3 любой оператор R является клас-
сической r-матрицей. В алгебрах Ли S4, S5 R является классической
r-матрицей тогда и только тогда, когда выполнено условия:
?1
0
(P + ?E)
=
.
?2
0
7

Глава 2. В этой главе проводится полная классификация решений
MYBE для g = sl(2, C) с точностью до эквивалентности. Первый раздел
второй главы посвящен методу М.А. Семенова-тян-Шанского8 о представ-
лении решений уравнения Янга-Бакстера.
Пусть R : g ? g удовлетворяет MYBE (2); положим R± = 1(R ±
2
I), где I  тождественный оператор. Оператор R± : gR ? g является
гомоморфизмом алгебр Ли7.
Обозначим через g± = ImR±, i± = KerR . Можно показать, что g± яв-
ляются подалгебрами Ли в g, i+ идеал в g+, i? идеал в g?, i+ ? i? = {0};
dimg± + dimi = dimg.
Определим отображение ?R : g+/i+ ? g?/i?. Возьмем элемент Їy ? g+/i+,
запишем его в виде Їy = R+x + i+. Его прообраз R?1
+ ( Ї
y) равен x+i+ +i?. То-
гда R?·R?1
+ ( Ї
y) = R?x+R?(i+)+R?(i?). Так как R?(i+) = 0 и R?(i?) = i?,
то R?R?1
+ ( Ї
y) = R?x + i?.
Определение 3.7,8 Определим отображение ?R : g+/i+ ? g?/i? следую-
щим образом ?R(Їy) = R?R?1
+ ( Ї
y) = R?x mod(i?).
Поскольку ?R = R?I , то ?
R+I
R называют преобразованием Кэли классиче-
ской r-матрицы R.
Выберем m±  дополнительные подпространства к i± в g±. Поскольку
m± как линейное пространство изоморфно g±/i±, то будем считать m± ал-
геброй Ли относительно коммутатора из g±/i±. Заметим, что отображение
?R действует из m+ в m?.
Справедливы следующие формулы:7,8
g = (1 ? ?R)m+
i+
i?
(3)
R(x) = (1 + ?R)x0 + x+ ? x?,
(4)
где x = (1 ? ?R)x0 + x+ + x?, x0 ? m+, x± ? i±
Следующие теоремы являются основными:
Теорема 3.7,8 Если R решение MYBE, то:
1) i+ идеал в g+, i? идеал в g?, i+ ? i? = ?;
8Семенов-тян-Шанский М.А. Что такое классическая r-матрица// Функц. анализ и его прил., 1983,
17, ќ4, С. 17-33
8

2) dimg± + dimi = dimg;
3) ?R : m+ ? m? есть изоморфизм алгебр Ли без неподвижных точек
(т.е. для всякого x ? m+, x = 0 выполняется: (x + i+) ? (?R(x) + i?) = ?).
Теорема 4.7,8 Обратно, пусть g  алгебра Ли, g±  ее подалгебры и
выполнены условия 1)3) теоремы 2. Тогда формула (4) задает решение
MYBE.
Из теорем 34 вытекает, что задача описания всех MYBE с точностью
до действия группы Aut(g) сводится к нахождению канонических форм
действия Aut(g) на наборы (i+, g+, i?, g?, ?R), удовлетворяющих условиям
1)-3) теоремы 3.
Классификация решений MYBE для g = sl(2, C) представлена во вто-
ром разделе второй главы в следующей теореме:
Теорема 5. Всякое решение MYBE для sl(2, C), с точностью до знака,
эквивалентно одному из следующих решений:
1. R = I, где I  тождественный оператор;
2. R = P1 ? P2, где P1 проектор на n+, P2 проектор на b?;
3.
?
1
R = P1 ?P2, где P1 проектор на C
, ? = 0, ? ? C, P2 проектор
0 ??
на b?;
4.
a11 a12
1
0
0 1
0 0
R
= 1+ca11
+ a12
? a21
.
a
1?c
21
a22
0 ?1
0 0
1 0
Замечание. Решение R из п. 4 теоремы, представляется в виде набора i+ =
1
0
1
0
n+, g+ = b+, i? = n?, g? = b?, ?R : h ? h, ?R
= c
,
0 ?1
0 ?1
где c ? ?
C , c = 1.
Глава 3. В этой главе проводится полная классификация решений
MYBE для sl(3, C), представленных в виде разности двух проекторов с
точностью до эквивалентности. В первом разделе проведена классифика-
ции подалгебр sl(3, C) с точностью до сопряжения в смысле следующего
определения:
Определение 4. Будем говорить, что подалгебра f сопряжена подалгеб-
ре f , если существует ? ? Aut(sl(3, C)) такой, что f = ?(f ).
Классификация подалгебр sl(3, C) размерности большей или равной
9

двум, может быть получена из результатов работы А.Ф.Баранника и др.9,
но в диссертации для удобства изложения, была получена независимо.
Везде далее h  подалгебра Картана, {eij}3
 стандартный базис в
i,j=1
gl(3, C), h12 = e11 ? e22, h13 = e11 ? e33, h23 = e22 ? e33, E  единичная
матрица, E  матрица с единицами по побочной диагонали.
Теорема 6. Всякая подалгебра f ? sl(3, C), dimf ? 2 сопряжена одной
из следующих подалгебр:
1. h;
2. f2 =
1
C(h12 ? h23) + Ce13;
3. m = Ce13 + Ce23; 4. f2 =
2
C(e12 + e23) + Ce13;
5. f2 =
3
C(?1e11 + ?2e22 + ?3e33) + Ce13, для некоторых ?i, таких что ?i = ?j,
?i = 0, две подалгебры вида f2 сопряжены, если два набора (?
3
1, ?2,
?3) отличаются ненулевым множителем или если два набора симметричны
относительно ?2;
?
?
1 1
0
6. f2 = ?
? +
4
C
0 1
0
Ce13;
?
?
0 0 ?2
7. f2 =
=
5
C(h13 + h23) + Ce13;
8. f26
Ch13 + C(e12 + e23);
9. A1 = Ch12 + Ce12 + Ce21; 10. A =
1
Ch13 + C(e12 + e23) + C(e21 + e32);
11. n+ - подалгебра верхнетреугольных нильпотентных матриц;
?
?
1 1
0
12. f3 = m + ?
?; 13. f3 = m +
1
C
0 1
0
Ch0, где h0 ? h, h0 = 0;
?
?
2
0 0 ?2
14. f3 = h +
=
3
Ce13;
15. f34
C(e12 + e23) + Ce13 + Ch13;
16. f4 = h +
= m + h;
1
Ce12 + Ce21;
17. f42
18. f4 = n
3
+ + Ch0, для некоторого h0 ? h, h0 = 0;
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
19. b
?
?
?
?
+; 20. p =
? ? ?
; 21. p =
? ? ?
; 22. g = sl(3, C).
?
?
?
?
0 0 0
0 0 ?
Во втором разделе третьей главы получена классификация решений мо-
дифицированного уравнения Янга-Бакстера, представленных в виде раз-
9Баранник А.Ф., Москаленко Ю.Д., Фущич В.И., Подалгебры афинной алгебры AIGL(3, R), Пре-
принт 89-65, Киев, Математический институт Академии Наук Украины, 1989.
10

?? ?
?
0
ности двух проекторов. Везде далее g = sl(3, C), p = ?? ? 0?  по-
?
?
? ? 0
далгебра, сопряженная p , и p = b+ + e32  параболическая подалгебра,
сопряженная p.
Определение 5. Подалгебру g2 назовем дополнительной к g1, если g1
g2 = sl(3, C). Обозначим через Xg множество дополнительных подалгебр
1
к g1.
Задачу классификации разделим на следующие две задачи:
Задача A. Выяснить, для каких g1 множество Xg пусто. Если X = ?
1
g1
дать описание Xg .1
Задача B. Обозначим через Ag = Norm
1
Ag1, где A = Aut(g). Описать
орбиты присоединенного действия Ag : X ? X .
1
g1
g1
Множество пар (g1, g2), где g1  одна из подалгебр теоремы 6 размерно-
сти меньше или равной 4, а g2  представитель Ag -орбиты в X , является
1
g1
полным списком всех разложений g = g1 + g2, dimg1 ? g2 с точностью до
сопряжения.
Пусть g1 и g2  две подалгебры sl(3, C), такие что sl(3, C) = g1
g2
 прямая сумма подалгебр как линейных подпространств. Считаем, что
dimg1 ? dimg2. Так как sl(3, C) не имеет подалгебр размерности 7, то
dimg1 = 1. Случай dimg1 = 0 тривиален. Далее считаем, что 2 ? dimg1 ? 4.
Теорема 7. Утверждается следующее:
А. Для всякой подалгебры g1 множество Xg не пусто.
1
B. 1) Для всякой подалгебры g1, dimg1 = 2, кроме подалгебры сопряжен-
ной f2, существует ровно одна орбита присоединенного действия A :
4
g1
Xg ? X . Если подалгебра g
, то существуют две орби-
1
g1
1 сопряжена f2
4
ты присоединенного действия на Xg .1
2) Если dimg1 = 3 и подалгебра g1 сопряжена n+, A1 или A , то суще-
1
ствует одна орбита присоединенного действия Ag : X ? X . Для всех
1
g1
g1
остальных подалгебр g1 размерности 3, существует две орбиты присо-
единенного действия на Xg .1
3) Если dimg1 = 4 и подалгебра g1 сопряжена f4, то существует две ор-
1
11

биты присоединенного действия Ag : X ? X . Если g
1
g1
g1
1 сопряжена f4
2
или f4, то существует три орбиты присоединенного действия на X .
3
g1
C. Пусть g1, g2 две подалгебры такие, что sl(3, C) = g1 g2. Тогда пара
(g1, g2) сопряжена одной из следующих пар или паре, которая получается
перестановкой слагаемых:
?
?
1 0 0
1. g
?
?
1 = h, g2 = T pT ?1, где T =
0 1 0
;
?
?
1 1 1
2. g1 = f2 =
1
C(h12 ? h23)
Ce13, g2 = T pT ?1, где T = E + e12;
3. g1 = f2 =
2
C(e12 + e23)
Ce13, g2 = T pT ?1, где T = E ;
4. g1 = f2 =
3
C(?1e11 + ?2e22 + ?3e33)
Ce13, для некоторых ?i, таких что
?
?
0 1 1
?
?
?
i = ?j , g2 = T pT ?1, где T =
0 1 0
;
?
?
1 0 0
? ? ?
?
0
5. g
?
?
1 = m, g2 =
? ? 0
;
?
?
? ? ?
6. g1 = f2, g
4
2 = T pT ?1, где T = E ;
7. g1 = f2, g
4
2 = T pT ?1, где T = E + e21;
8. g1 = f2, g
5
2 = T pT ?1, где T = E + e21;
9. g1 = f2, g
6
2 = T pT ?1, где T = E + e11;
10. g1 = f3, g
1
2 = p ;
11. g1 = f3 = m
2
Cdiag(?0, ?0, ?0), ?0 = 0, g2 = p ;
12. g1 = f3 = h
3
Ce13, g2 = T p T ?1, где T = E + e12;
13. g1 = f3, g
4
2 = T p T ?1, где T = E ;
14. g1 = n+, g2 = T b+T ?1 = b?, где T = E ;
15. g1 = A1, g2 = T b+T ?1, где T = E + e31;
16. g1 = A , g
1
2 = T b+T ?1, где T = E + e31;
?
?
1 1
0
17. g
?
?
1 = f3 = m
, g
1
C
0 1
0
2 = T b+T ?1 = b?, где T = E ;
?
?
0 0 ?2
12

?
?
?0 0
0
18. g
?
?
1 = f3 = m
, ?
2
C
0
?0 0
0 = ?0, g2 = T b+T ?1, где T = E + e12;
?
?
0
0
?0
?
?
0 1 1
19. g
?
?
1 = f3 = h
;
3
Ce13, g2 = T b+T ?1, где T =
1 1 0
?
?
1 0 0
20. g1 = f3, g
4
2 = T b+T ?1, где T = E + e12;
?
?
1 0 0
21. g
?
?
1 = f4 = h
T ?1, где T =
;
1
Ce12
Ce21, g2 = T f42
0 1 0
?
?
1 1 1
22. g1 = f4 = h m, g
T ?1, где T = E + e
2
2 = T f4
2
31;
23. g1 = f4, g
T ?1, где T = E + e
3
2 = T f4
2
32;
24. g1 = f4 = h
T ?1, где T = E + e
1
Ce12
Ce21, g2 = T f43
31;
25. g1 = f4 = n
3
+
Ch1, g2 = n?
Ch2, где h1, h2 ? h, h1 = Ch2;
26. g1 = sl(3, C), g2 = {0}.
Глава 4. Эта глава завершает классификацию решений MYBE для ал-
гебры Ли sl(3, C). Осталось классифицировать решения MYBE, которые
не представимы в виде разности двух проекторов. Задача сводится к клас-
сификации наборов (i+, g+, i?, g?, ?R), в которых i+ = g+ (что равносильно
i? = g?).
Теорема 8. Всякое решение R : sl(3, C) ? sl(3, C) модифицированного
уравнения Янга-Бакстера для g = sl(3, C), не представимое в виде разно-
сти двух проекторов, с точностью до знака, сопряжено одному из следу-
ющих решений вида (5), представленных в виде набора i+, g+, i?, g?, ?R:
1. i+ = m, g+ = p, i? = Ce21 + Ce31, g? = b? + Ce23,
?
?
?
?
a11 a12
0
ca33
0
0
? ?
?
?
?
R
a
,
21
a22
0
=
0
a11 + (1 ? c)a33
a12
?
?
?
2
?
0
0
a33
0
a21
a22 + (1 ? c)a33
2
где c ? ?
C , c = ?1
2. i+ = m, g+ = p, i? = Ce21 + Ce31, g? = b? + Ce23,
13

?
?
?
?
a11 a12
0
ca33
0
0
? ?
?
?
?
R
a
,
21
a22
0
=
0
?a22 ? (1 + c)a33
?a12
?
?
?
2
?
0
0
a33
0
?a21
?a11 ? (1 ? c)a33
2
где c ? ?
C , c = ?1
?
?
0 1 1
3. i
?
?
+ = f2,
g
, i
1
+ = f3
3
? = T p T ?1,
g? = T pT ?1, где T =
0 1 0
?
?
1 0 0
?
?
?
?
1
0
0
1 ?2 0
? ?
?
?
?
?
R
0 ?1 0
= c
0 ?1 0
, где c ? C , c = 1
?
?
?
?
3
0
0
0
0
0
0
? ? ?
?
?
?
0
? ? 0
4. i
?
?
?
?
+ = m,
g+ = n+, i? =
? ? 0
, g? =
? ? 0
?
?
?
?
? ? 0
? ? ?
?
?
?
?
0 1 0
1 0
0
? ?
?
?
?
?
R
0 0 0
= c ·
0 1
0
, где c ? C
?
?
?
?
0 0 0
0 0 ?2
? ? ?
?
?
?
0
? ? 0
5. i
?
?
?
?
+ = m,
g+ = f3, i
? ?
, g
? ?
1
? =
0
? =
0
?
?
?
?
? ? 0
? ? ?
?
?
?
?
1 1
0
1 0
0
? ?
?
?
?
?
R
0 1
0
= c ·
0 1
0
, где c ? C , c = 1
?
?
?
?
0 0 ?2
0 0 ?2
?
?
?0 0
0
6. i
?
?
+ = m,
g+ = f3 = m +
= 0,
2
Ch0, где h0 =
0
?0 0
?
?
0
0
?0
? ? ?
?
?
?
0
? ? 0
i? = ? ? ? 0 ?, g? = ? ? ? 0 ?
?
?
?
?
? ? 0
? ? ?
?
?
?
?
?0 0
0
?1
0
0
? ?
?
?
?
?
R
0
?
,
,
0
0
= c ·
0
?1 0
?0 + ?0 + ?0 = 0, c ? C c = ?0
?
?
?
?
2
0
0
?0
0
0
2
14

?
?
?
?
0 0 0
? 0 0
7. i
?
?
?
?
+ = f2,
g
, i
? ? ?
, g
? ? ?
2
+ = f3
4
? =
? =
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
R(h13) = c · diag(?2, 1, 1), где c ? C , c = ? 1
2
?
?
?
?
0 0 0
? 0 0
8. i
?
?
?
?
+ = f2,
g
? ? ?
, g
? ? ?
2
+ = n+,
i? =
? =
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
R(e12) = c · diag(?2, 1, 1), где c ? C
9. i+ = f2, g
= h +
3
+ = f3
3
Ce13,
?
?
0 1 1
i? = T p T ?1, g? = T pT ?1, где T = ? 0 1 0 ?
?
?
1 0 0
?
?
?
?
1 0
0
1 ?2 0
? ?
?
?
?
?
R
0 1
0
= c
0 ?1 0
, где c ? C , c = 1
?
?
?
?
0 0 ?2
0
0
0
?
?
1 0
0
10. i
?
?
+ = f2,
g
+
4
+ = C
0 1
0
Ce12 + Ce13,
?
?
0 0 ?2
?
?
?
?
0 0 0
? 0 0
i? = ? ? ? ? ?, g? = ? ? ? ? ?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
R(e12) = c · diag(?2, 1, 1), где c ? C , c = 1
2
?
?
1 0
0
11. i
?
?
+ = f2,
g
+
4
+ = C
0 1
0
Ce12 + Ce13,
?
?
0 0 ?2
?
?
0 1 1
i? = ?
F (T p T ?1), g? = ?
F (T pT ?1), где T = ? 0 1 0 ? и ?
F (X) = ? ?
X,
?
?
1 0 0
(X ? g, ?
X  транспонирование относительно побочной диагонали),
?
?
?
?
0 1 0
0
0
0
? ?
?
?
?
?
R
0 0 0
= c
0 ?1 ?2
, где c ? C
?
?
?
?
0 0 0
0
0
1
15

?
?
0 1 1
12. i
?
?
+ = f2, g
5
+ = h+Ce13,
i? = T p T ?1, g? = T pT ?1, где T =
0 1 0
?
?
1 0 0
?
?
?
?
1
0
0
1 ?2 0
? ?
?
?
?
?
R
0 ?1 0
= c
0 ?1 0
, где c ? C
?
?
?
?
0
0
0
0
0
0
13. i+ = f2, g
5
+ = h + Ce13,
i? = ?
F (T p T ?1), g? = ?
F (T pT ?1),
?
?
0 1 1
где ?
F  см. п. 11 и T = ? 0 1 0 ?
?
?
1 0 0
?
?
?
?
1
0
0
0
0
0
? ?
?
?
?
?
R
0 ?1 0
= c
0 ?1 ?2
, где c ? C , c = ?2
?
?
?
?
3
0
0
0
0
0
1
14. i+ = n+, g+ = b+, i? = n?, g? = b?
?R(h12) = c11h12 + c12h13 , где
c11 ? 1
c12
cij ? C, c =
= 0 и
?R(h13) = c21h12 + c22h13
c21
c22 ? 1
h12 = e11 ? e22, h13 = e11 ? e33
15. i+ = A1, g+ = h + Ce12 + Ce21
?
?
1 0 0
i? = T (Cdiag(0, ?
?
?
0, ??0) + n+)T ?1,
g? = T b+T ?1, где T =
0 1 0
?
?
1 0 1
?
?
?
?
1 0
0
1
0
0
? ?
?
?
?
?
R
0 1
0
= c
0 ?1 0
, где c = ?2, c ? C
?
?
?
?
0 0 ?2
1
0
0
16. i+ = A1, g? = h + Ce12 + Ce21
?
?
1 0 0
i? = T (Cdiag(0, ?
?
?
0, ??0) + n+)T ?1,
g? = T b+T ?1, где T =
0 1 0
?
?
1 1 1
?
?
?
?
1 0
0
1
0
0
? ?
?
?
?
?
R
0 1
0
= c
0 ?1 0
, где c = ?2, c ? C
?
?
?
?
0 0 ?2
1 ?1 0
17. i+ = A1, g+ = h + Ce12 + Ce21, i? = T (Cdiag(?0, ?0, ?0) + n+)T ?1,
16

?
?
1 0 0
?
?
?
0 = 0, g? = T b+T ?1, где T =
0 1 0
?
?
1 0 1
?
?
?
?
1 0
0
0 0
0
? ?
?
?
?
?
R
0 1
0
= c
0 1
0
, где c = 2(?0??0), c ? C
?
?
?
?
?0
0 0 ?2
1 0 ?1
18. i+ = A1, g+ = h + Ce12 + Ce21
i? = T (Cdiag(?0, ?0, ?0) + n+)T ?1,
?
?
1 0 0
?
?
?
0 = 0, g? = T b+T ?1, где T =
0 1 0
?
?
1 1 1
?
?
?
?
1 0
0
0 0
0
? ?
?
?
?
?
R
0 1
0
= c
0 1
0
, где c = 2(?0??0), c ? C
?
?
?
?
?0
0 0 ?2
1 2 ?1
19. i+ = n+, g+ = Cdiag(?1, ?1, ?1) + n+,
i? = n?, g? = Cdiag(?2, ?2, ?2) + n?, где ?1 ?2 = 0
?1 ?2
?
?
?
?
?1 0
0
?1 0
0
? ?
?
?
?
?
R
0
?
, где
1
0
= c
0
?1 0
c = 1, c ? C
?
?
?
?
0
0
?1
0
0
?1
?
?
?
?
1 1
0
1 1
0
20. i
?
?
?
?
+ =
0 1
0
+ m, g+ = C
0 1
0
+ n+,
?
?
?
?
0 0 ?2
0 0 ?2
i? = n?, g? = Cdiag(?0, ?0, ?0) + n?, где ?0 + 2?0 = 0
?
?
R(e12) = c · diag(1, 1, ?2), где c = ?1, c ? C
?
?
?
?
1 1
0
1 1
0
21. i
?
?
?
?
+ =
0 1
0
+ m, g+ = C
0 1
0
+ n+
?
?
?
?
0 0 ?2
0 0 ?2
i? = n?, g? = Cdiag(?0, ?0, ?2?0) + n?, ?0 = 0
?
?
R(e12) = c · h12, где
c ? C .
17

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ
1. Получена классификация классических rматриц в общей постановке
для трехмерных алгебр Ли c точностью до эквивалентности.
2. Получена классификация разложений sl(3, C) в прямую сумму двух сво-
их подалгебр как линейных подпространств с точностью до эквивалентно-
сти.
3. Получена классификация всех решений MYBE для sl(3, C) с точностью
до эквивалентности.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководите-
лю, доктору физико-математических наук, профессору Панову Александру
Николаевичу за постановку задач, сотрудничество и всестороннюю под-
держку.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
В журналах из списка ВАК:
1. Коновалова Е.И. Разложение sl(3, C) в прямую сумму подалгебр Ли как
линейных подпространств // Вестник Самарского государственного уни-
верситета, естественнонаучная серия,ќ 7(57) Самара: 2007, с. 63-72.
2. Коновалова Е.И. Решения модифицированного классического уравне-
ния ЯнгаБакстера для алгебры Ли g = sl(3, C) // Вестник Самарского
государственного университета, естественнонаучная серия, ќ 6(65), Сама-
ра: 2008, c. 90-104.
В прочих изданиях:
3. Панов А. Н. Коновалова Е.И. Классические rматрицы для алгебр Ли
малой размерности // Теоретическая физика т. 7, Самара, издво Самар-
ский университет, 2006, с.10-17.
4. Коновалова Е.И. О разложении sl(3, C) в прямую сумму подалгебр Ли
как линейных подпространств // Международная конференция по алгеб-
ре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е.Воскресенского. Материалы
конференции, Самара: издво "Универс групп" 2007, с.27-28.
5. Коновалова Е.И. Решения MYBE для алгебры Ли g = sl(3, C) // Меж-
дународная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня
18

рождения А.Г.Куроша. Материалы конференции, М.: Издво механико-ма-
тематического факультета МГУ, 2008, с.129-130.
6. Коновалова Е.И. О классификации решений модифицированного урав-
нения Янга-Бакстера // Международной научная конференция, посвящен-
ной 100-летию со дня рождения проф.В.В.Вагнера "Современные пробле-
мы дифференциальной геометрии и общей алгебры". Материалы конфе-
ренции, Саратов: Издво Саратовского университета, 2008, с. 16-18.
7. Коновалова Е.И. О классификации решений модифицированного уравне-
ния Янга-Бакстера // Летняя школа-конференция "Алгебра Ли, алгебраи-
ческие группы и теория инвариантов". Материалы конференции, Самара:
издво "Универс групп" 2009, с.26-27.
19


Разместите кнопку на своём сайте:
поделись


База данных защищена авторским правом ©dis.podelise.ru 2012
обратиться к администрации
АвтоРефераты
Главная страница