Численное моделирование нестационарных сейсмических полей в неоднородных упругих и вязкоупругих средах


Скачать 79,01 Kb.
PDF просмотр
НазваниеЧисленное моделирование нестационарных сейсмических полей в неоднородных упругих и вязкоупругих средах
МИХАЙЛОВ Александр Анатольевич
Дата конвертации25.08.2012
Размер79,01 Kb.
ТипАвтореферат
СпециальностьМатематическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Год2006
На соискание ученой степениКандидат физико-математических наук
На правах рукописи
МИХАЙЛОВ Александр Анатольевич
Численное моделирование нестационарных
сейсмических полей в неоднородных упругих
и вязкоупругих средах
05.13.18 – математическое моделирование, численные методы
и комплексы программ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Новосибирск, 2006


Работа выполнена в Институте вычислительной математики и мате-
матической геофизики СО РАН.
Научный руководитель:
член-корреспондент РАН,
доктор физико-математических наук
Михайленко Борис Григорьевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук
Имомназаров Холматжон
Худайназарович
доктор физико-математических наук
Клем-Мусатов Камил Давидович
Ведущая организация:
Санкт-Петербургское отделение
Математического института
им. В.А. Стеклова РАН.
Защита состоится 19 декабря 2006 года в 15 часов на заседании
Диссертационного совета Д 003.061.02 по присуждению ученной сте-
пени кандидата физико-математических наук в конференц-зале
Института вычислительной математики и математической геофизи-
ки СО РАН (630090, Новосибирск, проспект Лаврентьева, 6).
С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале Института
вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.
Автореферат разослан 19 ноября 2006 года.
Ученый секретарь
диссертационного совета
д.ф.-м.н.
С.Б. Сорокин

Общая характеристика работы
Объект исследований. Объектом исследования диссертации
являются двух- и трехмерные прямые динамические задачи сейсми-
ки для упругих и вязкоупругих неоднородных изотропных сред.
Актуальность работы. Решение прямых задач сейсмики поз-
воляет исследовать особенности распространения различных типов
волн в сложнопостроенных неоднородных средах, в частности для
вязкоупругости, позволяет учитывать реальные законы поглощения
и дисперсии. Моделируемые волновые поля позволяют разобрать-
ся на практике в интерпретации данных сейсмических полей, ре-
гистрируемых при геофизических исследованиях. Одним из первых
и наиболее популярных методов решения прямых задач был луче-
вой метод, требующий значительно меньше вычислительных затрат,
чем другие методы. Однако, с развитием высокоточной широкопо-
лосной сейсморегестрирующей аппаратуры, появились факты реги-
страции «нелучевых» сейсмических волн, которые не описываются
нулевым членом лучевого ряда, и для их вычисления необходимо
учесть последующие члены ряда. В отличие от лучевого метода, с
помощью численно-аналитических методов моделирования сейсми-
ческих полей были обнаружены такие «нелучевые» волны. В насто-
ящее время существуют разные вычислительные методы решения
прямых динамических задач сейсмики. Наиболее распространенны-
ми из них являются методы, основанные на конечно-разностной ап-
проксимации, а также спектральные и псевдоспектральные методы.
Если в конечно-разностных методах производные аппроксимируют-
ся конечно-разностным отношением в дискретных точках физиче-
ского пространства, то в псевдоспектральных они определяются на
основе разложения в ряды по базисным функциям, которые бес-
конечное число раз дифференцируемы во всей расчетной области.
Обычно в качестве таких базисных функций выбираются тригоно-
метрические функции, либо полиномы Чебышева, так как для них
существуют эффективные методы быстрого преобразования. Важ-
ным достоинством псевдоспектральных методов является высокая
скорость сходимости (теоретически экспоненциальная), если реше-
ние обладает достаточной степенью гладкости. Аналогичной точно-
стью обладают и спектральные методы. В отличие от псевдоспек-
тральных методов в спектральном подходе все вычисления прово-
дятся в спектральном пространстве без возвращения в каждый мо-
1

мент времени в физическое пространство. Наиболее эффективными
являются алгоритмы, использующие комплексирование численных
разностных методов и аналитических преобразований. Современные
вычислительные комплексы дают возможность решать более слож-
ные и трудоемкие задачи с использованием методов математическо-
го моделирования, что требует соответствующих алгоритмов для их
реализации, как, например, алгоритмы распараллеливания. В связи
с этим разработка универсальных и эффективных алгоритмов для
расчета волновых полей в сложнопостроенных неоднородных средах
является актуальной задачей
Цель работы. Разработка новых эффективных вычислитель-
ных алгоритмов для моделирования волновых полей в упругих и
вязкоупругих неоднородных средах.
Задачи исследования:
1. Построение алгоритма декомпозиции областей на основе инте-
гральных преобразований для сшивки аналитических и числен-
но-аналитических решений для двухмерно-неоднородной упру-
гой среды.
2. Построение алгоритмов решения пространственных осесиммет-
ричных задач в смещениях и скоростях/напряжениях для вяз-
коупругой слоисто-неоднородной среды.
3. Разработка программного комплекса для решения 2.5D про-
странственной вязкоупругой задачи для различных типов ис-
точников на многопроцессорных вычислительных комплексах.
4. Проведение исследований по моделированию сейсмических по-
лей в вязкоупругих средах с заданными функциями последей-
ствия.
5. Сравнительный анализ эффективности разрабатываемых ал-
горитмов с уже имеющимися методами и поиск путей оптими-
зации точности расчетов и вычислительных затрат.
Научная новизна и практическая ценность. Построены но-
вые эффективные алгоритмы решения прямых динамических задач
сейсмики на основе комплексирования методов аналитических инте-
гральных преобразований и численных разностных методов. Пред-
ложен новый подход сшивки аналитических и численных решений
при декомпозиции областей среды с разными физическими парамет-
рами (для однородных, слоисто-неоднородных и двухмерно-неодно-
родных областей). Исследованы новые возможности применения ин-
2

тегрального преобразования Лагерра по временной координате для
решения задач теории вязкоупрогости с произвольными функция-
ми последействия, заданными в виде принципа суперпозиции Больц-
мана. Такой подход оказался возможным благодаря доказательству
теоремы для преобразования Лагерра интегральной свертки, кото-
рую можно рассматривать как аналог известной теоремы преобразо-
вания Фурье. Однако использование преобразования Лагерра имеет
ряд преимуществ для численного решения подобных задач. Такой
подход позволяет без увеличения вычислительных затрат рассмат-
ривать самые общие связи между напряжением и деформацией, вы-
раженные в виде произвольных функций последействия в интеграль-
ных соотношениях Больцмана. Актуальность решения подобных за-
дач вызвана необходимостью моделирования сейсмических полей с
учетом законов поглощения и дисперсии в реальных средах. Эффек-
тивность метода продемонстрирована на примере решения задач ди-
намической теории вязкоупругости для систем уравнений первого и
второго порядка по временной координате.
Исследованы и предложены способы повышения эффективности
разработанных алгоритмов при моделировании сейсмических полей
в вязкоупругих средах с тонкими слоями и резкоконтрастными гра-
ницами раздела, с целью повышения точности получаемого реше-
ния, на основе подбора соответствующих параметров обобщенных
функций Лагерра для рассматриваемых задач. Также исследованы
возможности повышения точности расчетов при использовании чис-
ленной аппроксимации первых производных на разностных сетках
с четверты порядком точности по одной или двум пространствен-
ным координатам. С использованием разработанных алгоритмов и
программ исследованы свойства поглощения и дисперсии фазовых
скоростей сейсмических волн в вязкоупругих средах для заданных
функций последействия с несколькими релаксационными механиз-
мами.
Практическое значение результатов работы определяется тем,
что волновые поля, получаемые в результате численного моделиро-
вания, позволяют провести сравнительное исследование волновых
полей, регистрируемых при геофизических исследованиях, путем
моделирования различных вариантов. Решение прямых задач сей-
смики позволяет исследовать особенности распространения различ-
ных типов волн в сложнопостроенных неоднородных средах, в част-
ности для вязкоупругости, позволяет учитывать реальные законы
поглощения и дисперсии.
3

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертацион-
ной работе, докладывались и обсуждались на семинаре отдела «Ма-
тематические задачи геофизике», а также на 5 международных кон-
ференциях (1999 –2004 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы
в 11 печатных работах, в том числе статья в Journal of Computational
Acoustics (2001 г.), статья в Journal of Geophysical Prospecting (2003 г.)
и статья в Journal of Pure and Applied Geophysics (2003 г.). Список
работ помещен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,
трех глав, содержащих 15 параграфов, заключения, двух приложе-
ний и списка литературы из 86 наименований. Объем работы –– 104
машинописных страницы, в работе содержится 26 рисунков.
Благодарности. Хочу выразить благодарность сотрудникам ла-
боратории «Численное моделирование сейсмических полей» Инсти-
тута вычислительной математики и математической геофизики
(ИВМиМГ СО РАН), в частности В.Н. Мартынову и Г.В. Решетовой,
за сотрудничество и обмен опытом, накопленным в данной лабора-
тории, в решении задач математического моделирования.
Особая благодарность моему научному руководителю –– заведую-
щему лабораторией, чл.-корр. РАН, д.ф.-м.н. Б.Г. Михайленко, кото-
рый привлек автора к исследованиям новых методов решения пря-
мых динамических задач сейсмики.
Основное содержание работы
Во введении обосновывается актуальность, научная новизна и
важность полученных в диссертации результатов и их место среди
близких научных исследований. Дается обзор литературы по рас-
сматриваемой теме и приводится общая структура диссертации.
В первой главе рассматривается алгоритм решения двухмерно-
неоднородной упругой задачи с помощью декомпозиции областей
с использованием конечных интегральных преобразований по про-
странственным координатам. Общее решение задачи получается в
результате сшивки решений для отдельных участков среды, исходя
из условия непрерывности. В результате преобразований искомое ре-
шение может быть записано аналитически по временной координате
в виде системы сшивки.
4

В п. 1.1 дается математическая постановка задачи для волнового
уравнения в полярной системы координат (r, ϕ). Предлагается рас-
смотреть описываемый алгоритм декомпозиции областей на примере
разбиения исходной области на три участка. На участке [0, r1] ско-
рость распространения волн задана постоянной. На участке [r1, r2]
скорость задана в виде произвольной двухмерной функции ν (r, ϕ).
И для r > r2 скорость в среде задана постоянной.
В п. 1.2 излагаются теоретические аспекты построения реше-
ния. Суть предлагаемого алгоритма заключается в разбиение исход-
ной области заданной модели на отдельные участки с определен-
ными характеристиками среды (однородная, слоисто-неоднородная
или двухмерно-неоднородная области среды). Тогда общее решение
представимо, как

S(r, t),
r ≤ r1,

R(r, t) =
P (r, t),
r1 − ∆r ≤ r ≤ r2 + ∆r,

W (r, t),
r ≥ r2.
При этом на границах пересечения областей вводятся неизвестные
функции Q1(t) = R(r1, t), Q2(t) = R(r1 − ∆r, t), Q3(t) = R(r2 + ∆r, t),
Q4(t) = Rn(r2, t), которые могут быть определены из условия непре-
рывности общего решения. После этого для каждого участка среды,
используя соответствующий метод (аналитический или численно-
аналитический), может быть записано решение с заданными гранич-
ными функциями. Затем, используя условие непрерывности, строит-
ся система уравнений сшивки найденных решений вида:

P (r1, t, Q2, Q3) = Q1(t),





Sn(r1 − ∆r, t, Q1) = Q2(t),
W

n(r2 + ∆r, t, Q4) = Q3(t),




Pn(r2, t, Q2 , Q
n
3) = Q4(t).
Решив данную систему относительно Q1, Q2, Q3, Q4, можно опре-
делить неизвестные граничные функции и в итоге построить общее
решение для любой точки исходной области.
В п. 1.3 описывается построение аналитического решения зада-
чи для однородной среды, используя интегральное косинус-Фурье
преобразования по пространственной координате ϕ и преобразова-
ния Ханкеля по координате r. В результате этих преобразований на
5

участках с постоянной скоростью решение может быть записано в
виде интегральной свертки фундаментального решения уравнения и
его правой частью, где в качестве фундаментального решения в за-
висимости от выбранного интервала по координате r являются ком-
бинации функций Бесселя первого и второго рода, записываемые
соответствующим образом.
В п. 1.4 излагается численно-аналитический метод решения для
неоднородной среды. В основу метода положен алгоритм матрично-
го преобразования системы уравнений, получаемой после косинус-
Фурье преобразования по пространственной координате ϕ и конечно-
разностной аппроксимации по координате r. Используя разложение
матрицы получаемой системы на собственные вектора и собственные
числа, решение задачи на данном участке записывается аналитиче-
ски по времени в виде интегральной свертки:
t
L
L
tj,i
Pl(t) =
tl,i

Fj(τ ) sin
λi(t − τ ) dτ,
λ
i=1
j=1
i 0
где λi –– собственные числа, а tj,i –– элементы матрицы собственных
векторов.
В п. 1.5 описывается метод построения общего решения исходной
задачи. Для этого используется принцип непрерывности решения на
участках пересечения областей, на основе которого осуществляется
построение системы для сшивки этих решений.
В п. 1.6 рассматриваются некоторые аспекты численной реали-
зации предложенного алгоритма и приводятся необходимые для рас-
четов формулы. В частности, приводится оценка требуемого коли-
чества гармоник для интегрального преобразования Фурье–Бесселя,
выбора оптимального шага разносной аппроксимации по простран-
ственной координате и пространственного диапазона перекрытия ре-
шений для областей декомпозиции.
В п. 1.7 приводятся результаты численного моделирования и ана-
лизируются вычислительные возможности повышения эффективно-
сти рассматриваемого алгоритма. Представлены рисунки расчетных
волновых полей, полученных в результате сшивки аналитических
решений для двух однородных областей с численным решением для
двухмерно-неоднородной области модели среды. В качестве иллю-
страции возможности использования алгоритма для более сложно-
построенных моделей сред приводятся результаты моделирования
6

волнового поля для радиально-неоднородной модели Земли в слу-
чае построения решения при декомпозиции нескольких численных и
аналитически решений.
В п. 1.8 сделаны основные выводы о возможностях предлагаемо-
го алгоритма и его отличительные особенности в сравнении с подоб-
ными алгоритмами.
Во второй главе рассматриваются два алгоритма моделирова-
ния волновых полей в вязкоупругих средах для решения простран-
ственных осесимметричных задач первого и второго порядка. Глав-
ная отличительная особенность предлагаемых алгоритмов заключа-
ется в использовании интегрального преобразования Лагерра по вре-
менной координате. Построение алгоритмов основывается на ком-
плексировании интегральных преобразований и конечно-разностных
методов для сведения исходных интегрально-дифференциальных си-
стем к системам линейных алгебраических уравнений, решения кото-
рых могут быть найдены наиболее эффективными известными чис-
ленными методами.
В п. 2.1 дается постановка осесимметричной задачи в цилиндри-
ческой системе координат для системы уравнений первого порядка
в скоростях смещений и напряжениях. Среда задается изотропной
вертикально-неоднородной. При этом полагается, что механизм по-
следействия задан в виде интегральных соотношений Больцмана для
произвольных функций последействия. В этом случае связь между
напряжением и деформацией для произвольной нагрузки σ = σ(t)
имеет вид:
t
1
ε(t) =
σ(t) +
σ(τ ) ˙
φ(t − τ )dτ .
MU
−∞
Здесь MU –– упругий модуль, а φ(t) –– функция последействия для
этого упругого модуля. В случае изотропной упругой среды φ = 0
при MU = µ для поперечных и MU = λ + 2µ для продольных волн.
В п. 2.2 описываются теоретические аспекты построения алго-
ритма решения задачи для функций последействия общего вида.
Для сведения исходной задачи к одномерной используется интеграль-
ное преобразование Лагерра по временной координате и разложение
решение по однородной пространственной координате в виде ком-
бинации рядов Дини и Фурье–Бесселя. Для применения преобра-
зования Лагерра к задачам вязкоупругости используется теорема о
преобразовании Лагерра для интегральной свертки.
7

Теорема. Пусть две произвольные функции представимы в виде
разложения в ряд по функциям Лагерра как


α
n!
β
k!
f (t) = (ht) 2
fnlα(ht),
φ(t) = (ht) 2
φklβ(ht).
(n + α)!
n
(k + β)!
k
n=0
k=0
t
Тогда функция ϕ(t) =
f (τ )φ(t − τ )dτ может быть представлена в
0
виде разложения по функциям Лагерра как

α+β+1
m!
ϕ(t) = (ht)
2
ϕmlα+β+1(ht),
(m + α + β + 1)!
m
m=0
где

m
1
ϕm =
(ht)− α+β+1
2
lα+β+1(ht)ϕ(t)d(ht) =
φ
m
m−j fj .
h
0
j=0
Доказательство утверждения теоремы приводится в данном пункте.
Использование преобразования Лагерра позволяет получить систе-
му уравнений, матрица которой не зависит от номера гармоники, а
правая часть уравнений для каждой гармоники имеет итерационную
формулу.
В п. 2.3 описывается решение одномерной задачи, получен-
ной после применения интегральных преобразований для заданных
функций последействия обобщенной модели стандартного линейного
твердого тела вида:

τε
φ(t) = 1 −
(1 −
l )e−t/τσl,
τσl
l=1
где L –– количество релаксационных механизмов, а τεl и τσl –– вре-
мена релаксации деформации и напряжения, соответствующие l-му
механизму.
Решение сведенной одномерной задачи основывается на конечно-
разностной аппроксимации производных, в результате чего диффе-
ренциальная система сводится к системе линейных алгебраических
уравнений. При этом для повышения точности решения использу-
ется аппроксимация с четвертым порядком точности. Получаемая в
результате система линейных алгебраических уравнений может быть
записана в векторной форме как
8

h
A(kn) +
E Y (kn, m) = F (kn, m − 1),
2
где kn –– корни преобразования Бесселя, m –– номер гармоники Ла-
герра, h = Const –– параметр сдвига функций Лагерра.
Отсюда видно, что матрица системы A не зависит от m, а правая
часть уравнений рассчитывается по рекуррентным формулам для
каждой m-й гармоники.
В п. 2.4 обсуждаются некоторые вычислительные аспекты реа-
лизации алгоритма. Приводятся необходимые формулы для опреде-
ления требуемого количества гармоник в применяемых интеграль-
ных преобразованиях. Дается оценка для оптимального выбора спе-
циальных параметров функций Лагерра, позволяющих влиять на
точность и сходимость решения. В частности показано, что выбор
значения параметра сдвига позволяет уменьшить обусловленность
матрицы системы линейных алгебраических уравнений, получаемой
в результате преобразований. Для решения систем уравнений ис-
пользуется метод LU- разложения матрицы системы на треугольные,
позволяющий эффективно решать системы уравнений для большого
набора правых частей при постоянной матрице системы.
В п. 2.5 рассматриваются результаты численного моделирования.
Дается оценка точности решения на примере сравнения результа-
тов аналитического решения для однородной среды и решения полу-
ченного с помощью предлагаемого алгоритма. Приводятся графики
фазовых скоростей и функции добротности в поглощающей среде с
заданными функциями последействия для стандартного линейного
твердого тела с несколькими релаксационными механизмами. Срав-
ниваются волновые поля для соответствующих моделей упругой сре-
ды и среды с заданными функциями релаксации.
В п. 2.6 дается постановка осесимметричной вязкоупругой задачи
в цилиндрической системе координат для системы уравнений второ-
го порядка в смещениях. Среда задается изотропной вертикально-
неоднородной. Релаксационный механизм в поглощающих слоях за-
дается произвольными функциями последействия в виде принципа
суперпозиции Больцмана.
В п. 2.7 описываются теоретические аспекты построения алго-
ритма решения поставленной задачи. Предлагаемый алгоритм ос-
новывается на сведении исходной интегрально-дифференциальной
задачи к одномерной с помощью аналитических интегральных пре-
образований. Для этого используется разложение решения по функ-
9

циям Бесселя по однородной пространственной координате r вида

2
J1(knr)
Ur(r, z, t) =
S(kn, z, t)
,
a2
[J0(kna)]2
n=1

2
J0(knr)
Uz(r, z, t) =
R(kn, z, t)
.
a2
[J0(kna)]2
n=1
Затем к полученному решению применяется интегральное преобра-
зование Лагерра по временной координате вида:

¯
Sm(kn, z)
S(kn, z, t)
¯
=
(ht)− α2 lα (ht)d(ht).
R
m
m(kn, z)
R(kn, z, t)
0
В результате исходная задача распадается на N независимых одно-
мерных задач, где N –– количество гармоник в суммируемых рядах по
Бесселю. Далее, используя разностную аппроксимацию производных
по пространственной координате, полученная таким образом каждая
независимая задача сводится к решению системы линейных алгеб-
раических уравнений.
В п. 2.8 рассматриваются некоторые вычислительные аспекты
реализации алгоритма. Приводятся формулы для выбора оптималь-
ных значений параметров преобразования Лагерра –– h (параметр
сдвига) и α (порядок функций Лагерра). Эффективный выбор этих
параметров позволяет уменьшить вычислительные затраты и уве-
личить точность решения. Для решения полученной системы линей-
ных уравнений используется метод Холецкого, так как данный метод
наиболее эффективен для решения систем с неизменной матрицей
для большого набора правых частей уравнений. В данном случае
матрица системы разлагается на нижнюю и верхнюю треугольные
матрицы один раз для всех правых частей, что существенно сокра-
щает вычислительные затраты предлагаемого алгоритма.
В п. 2.9 приводятся результаты численного моделирования для
решения поставленной задачи, полученные на основе предлагаемого
алгоритма. Анализируются способы повышения расчетов и умень-
шения вычислительных затрат. Рассматриваются рисунки волнового
поля, вычисленные для тестовых моделей сред.
В п. 2.10 делаются выводы об эффективности применения пред-
лагаемых алгоритмов. Рассматриваются отличительные особенности
10

и преимущества в сравнении с другими известными методами реше-
ния подобных задач.
В третьей главе рассматривается алгоритм моделирования вол-
новых полей для 2.5D неоднородных вязкоупругих сред. Построение
предлагаемого алгоритма основывается на комплексировании инте-
грального преобразования Лагерра по временной координате и чис-
ленной конечно-разностной схемы аппроксимации производных по
пространственным координатам для сведения исходной интеграль-
но-дифференциальной системы к системам линейных алгебраиче-
ских уравнений. Подобное сведение задачи к хорошо обусловлен-
ной системе алгебраических уравнений с множеством правых ча-
стей позволяет использовать эффективные алгоритмы решения на
основе итерационных методы, типа сопряженных градиентов, сходя-
щиеся к решению задачи всего за несколько итераций. На данном
этапе алгоритм был эффективно распараллелен. Также для случая
большой пространственной области модели среды была реализова-
на распараллеленная версия метода сопряженных градиентов. Это
дает возможность распределения памяти как при задании входных
параметров модели, так и при дальнейшей численной реализации
алгоритма в подобластях.
В п. 3.1 дается постановка задачи для системы уравнений пер-
вого порядка в скоростях смещений и напряжениях для трехмерной
декартовой системы координат. При этом полагается, что параметры
среды (плотность и скорости продольных и поперечных волн) имеют
зависимость только по двум координатам, а по третьей координате
среда однородна. Данную постановку задачи принято называть 2.5D
задачей. Механизм последействия задан в виде интегральных соот-
ношений Больцмана для функций последействия для стандартного
линейного твердого тела.
В п. 3.2 описывается теоретический вывод основных формул
предлагаемого алгоритма решения поставленной задачи. Алгоритм
основывается на сведении исходной интегрально-дифференциальной
задачи к системе линейных алгебраических уравнений, исполь-
зуя комплексирование интегральных преобразований и конечно-
разностной схемы. Для этого используется интегральное преобра-
зование Лагерра по временной координате и конечное интеграль-
ное преобразование Фурье по однородной пространственной коор-
динате. В результате исходная задача распадается на N незави-
симых двухмерных задач, где N –– количество гармоник в Фурье-
11

преобразовании. Далее, используя разностную аппроксимацию про-
изводных по двум неоднородным пространственным координатам,
полученная таким образом, каждая независимая задача сводится к
решению системы линейных алгебраических уравнений.
В п. 3.3 рассматриваются некоторые вычислительные аспекты
реализации описанного алгоритма. Приводятся необходимые фор-
мулы для определения требуемого количества гармоник в приме-
няемых интегральных преобразованиях. Дается оценка для опти-
мального выбора специальных параметров интегральных преобра-
зований, позволяющих влиять на точность и сходимость решения.
Выбор этих параметров позволяет регулировать обусловленность по-
лучаемой системы линейных алгебраических уравнений и тем са-
мым использовать быстрые алгоритмы для ее решения на основе
итерационных методов типа сопряженных градиентов, сходящиеся
к решению задачи всего за несколько итераций. На этом этапе была
реализована распараллеленная версия метода сопряженных гради-
ентов. На уровне входных данных, при задании модели среды, это
равносильно декомпозиции исходной области на множество подобла-
стей, равных количеству процессоров. Это дает возможность распре-
деления памяти, как при задании входных параметров модели, так
и при дальнейшей численной реализации алгоритма в подобластях.
Как альтернативный метод распараллеливания, в случае небольшой
области по неоднородным координатам, был реализован алгоритм
распараллеливания по пространственной гармонике преобразования
Фурье по однородной координате, что существенно сокращает вы-
числительные затраты предлагаемого алгоритма, так как значитель-
но сокращается межпроцессорный обмен. В этом случае на каждом
процессоре осуществляется расчет независимой задачи для каждой
гармоники.
В п. 3.4 представлены численные результаты моделирования вол-
новых полей на основе предлагаемого алгоритма. Анализируются
способы повышения точности получаемых результатов и уменьше-
ния вычислительных затрат. Рассматриваются мгновенные снимки
волнового поля и синтезированные сейсмограммы, полученные для
тестовой модели среды с двумя упругими и двумя поглощающи-
ми слоями с идентичными упругими параметрами, но с разными
функциями последействия. Для данной модели расчеты проводи-
лись на основе распараллеливания по пространственным гармони-
кам. Для варианта распараллеливания решения по участкам сре-
12

ды приводятся результаты тестовых расчетов для модели среды со
сложной структурой неоднородности и большой пространственной
протяженностью (около 500 минимальных длин волн).
В п. 3.5 делаются основные выводы об эффективности использо-
вания предложенного алгоритма. Рассматриваются его отличитель-
ные особенности и преимущества в сравнении с известными мето-
дами.
В заключении кратко перечислены основные результаты дис-
сертационной работы выносимые на защиту.
В двух последующих приложениях приводятся некоторые извест-
ные теоретические постулаты и формулы, используемые для постро-
ения предлагаемых в диссертации алгоритмов.
В приложении 1 описываются некоторые свойства и приводят-
ся основные формулы для интегрального преобразования Лагерра.
Рассматриваются графики функций Лагерра в зависимости от раз-
ных параметров и их влияние на спектр коэффициентов разложения
по полиномам Лагерра заданных функций.
В приложении 2 показывается принцип построения и вывода
основных формул теории вязкоупругости для законов поглощения и
дисперсии с заданной функцией последействия.
Заключение
В диссертации предложены новые эффективные вычислительные
алгоритмы решения динамических задач моделирования сейсмиче-
ских волновых полей в неоднородных упругих и вязкоупругих сре-
дах. Эффективность алгоритмов основывается на комплексирова-
нии интегральных преобразований и конечно-разностных методов,
что позволяет получить решение поставленных задач с требуемой
точностью при минимальных вычислительных затратах.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
1. Совместно с сотрудниками лаборатории «Численного моделиро-
вания сейсмических полей» разработаны алгоритмы и лично ав-
тором осуществлена программная реализация следующих задач:
• алгоритм декомпозиции областей на основе сшивки аналитиче-
ских и численно-аналитических решений для двухмерно-неод-
нородной упругой среды;
13

• алгоритм решения осесимметричной пространственной задачи
в скоростях/напряжениях для вязкоупругой слоисто-неодноро-
дной среды с произвольными функциями последействия;
• алгоритм решения осесимметричной пространственной задачи
для компонент смещений для вязкоупругой вертикально-неод-
нородной среды.
2. Создан комплекс программ на основе алгоритмов распараллели-
вания решения 2.5D пространственной вязкоупругой задачи для
различных типов источников на многопроцессорных вычисли-
тельных комплексах, используя различные методы распаралле-
ливания для соответствующих типов моделей сред.
3. Разработаны алгоритмы с использованием разностной аппрокси-
мации производных с четвертым порядком точности по одной или
двум пространственным координатам в комплексе с аналитиче-
скими интегральными преобразованиями по другим координатам
для повышения точности искомого решения систем дифференци-
альных уравнений первого порядка.
4. Исследованы методы улучшения обусловленности матриц систем
алгебраических уравнений на основе оптимизации выбора пара-
метров обобщенных функций Лагерра для повышения точности и
сходимости решения. Доказана теорема преобразования Лагерра
для интегральной свертки двух произвольных функций.
5. Исследованы методы повышения точности предложенных алго-
ритмов при расчетах волновых полей для моделей сред с тонки-
ми слоями и сред с резкоконтрастными границами. Предложены
способы оптимизации алгоритмов с целью уменьшения вычисли-
тельных затрат.
Публикации по теме диссертации
[1] Конюх Г.В., Михайлов А.А. Об одном алгоритме декомпозиции об-
ластей с использованием конечных интегральных преобразований
Фурье-Бесселя // Труды ИВМиМГ. Сер. Математическое моделиро-
вание в геофизике. –– Новосибирск: Изд. ИВМиМГ, 1998. –– Вып. 5. ––
С. 79–90.
[2] Konyukh G.V., Mikhailenko B.G., Mikhailov A.A. On an algorithm of
domain decomposition based on finite Integral Fourier-Bessel transforms
// Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. Ser. Mathematical
Modeling in Geophysics. –– Novosibirsk. –– 1998. –– Iss. 4. –– P. 103–113.
14

[3] Конюх Г. В., Михайленко Б. Г., Михайлов А.А. Решение прямых дина-
мических задач сейсмики с помощью интегрального преобразования
Лагерра // Сб. тр. 8 Всерос. школы-семинара «Современные пробле-
мы математического моделирования». –– Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ,
1999. –– С. 107–118.
[4] Konyukh G.V., Mikhailenko B.G., Mikhailov A.A. Numerical modeling
of transient seismic fields in viscoelastic media based on the Laguerre
spectral method // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. Ser.
Mathematical Modeling in Geophysics. –– 2000. –– Iss. 6. –– P. 31–40.
[5] Конюх Г.В., Михайленко Б.Г., Михайлов А.А. Моделирование неста-
ционарных сейсмических полей в неоднородных вязкоупругих средах
на основе преобразования Лагерра // Науки о Земле: современные
проблемы сейсмологии. –– М.: Вузовская книга, 2001. –– С. 25–46.
[6] Конюх Г.В., Михайленко Б.Г., Михайлов А.А. Численное моделирова-
ние сейсмических полей в вязкоупругих средах на основе спектраль-
ного метода // Математическое моделирование. –– 2001. –– Т. 13, № 2. ––
С. 61–70.
[7] Konyukh G.V., Mikhailenko B.G., Mikhailov A.A. Application of the
integral Laguerre transforms for forward seismic modeling // J. of
Computational Acoustics. –– 2001. –– Vol. 9, № 4. –– P. 1523–1541.
[8] Mikhailenko B.G., Mikhailov A.A., Reshetova G.V. Seismic wavefield
modeling for laterally heterogeneous whole earth models // Proc. of
Intern. Conf. on Computational Mathematics. –– Novosibirsk, 2002. ––
P. 632–638.
[9] Mikhailenko
B.G.,
Mikhailov
A.A.,
Reshetova
G.V.
Numerical
viscoelastic modeling by the spectral Laguerre method // J. Geophysical
Prospecting. –– 2003. –– Vol. 51. –– P. 37–48.
[10] Mikhailenko B.G., Mikhailov A.A., Reshetova G.V. Numerical modeling
of transient seismic fields in viscoelastic media based on the Laguerre
spectral method // J. Pure and Applied Geophysics. –– 2003. –– Vol. 160. ––
P. 1207–1224.
[11] Михайлов А. А. Моделирование сейсмических полей для 2.5D неодно-
родных вязкоупругих сред // Труды междунар. конференции «Мате-
матические методы в геофизике – ММГ 2003». –– Новосибирск, 2003. ––
Ч. 1. –– C. 146–152.
15

МИХАЙЛОВ Александр Анатольевич
Численное моделирование нестационарных
сейсмических полей в неоднородных упругих
и вязкоупругих средах
05.13.18 – математическое моделирование, численные методы
и комплексы программ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Лицензия ИД № 02202 от 30 июня 2000 г.
Подписано в печать
15.11.2006 г.
Формат бумаги 60 × 841/16
Объем 1,0 п. л.
0,9 уч.-изд. л.
Тираж 80 экз.
Заказ №
ООО «Омега Принт», Новосибирск-90, пр. Лаврентьева, 6


Разместите кнопку на своём сайте:
поделись


База данных защищена авторским правом ©dis.podelise.ru 2012
обратиться к администрации
АвтоРефераты
Главная страница