Классификация интегрируемых эволюционных векторных дифференциальных уравнений третьего порядка




Скачать 35.11 Kb.
PDF просмотр
НазваниеКлассификация интегрируемых эволюционных векторных дифференциальных уравнений третьего порядка
Балахнев Максим Юрьевич
Дата конвертации23.09.2012
Размер35.11 Kb.
ТипАвтореферат
СпециальностьДифференциальные уравнения.
Год2009
На соискание ученой степениКандидат физико-математических наук.
На правах рукописи
Балахнев Максим Юрьевич
Классификация интегрируемых эволюционных векторных
дифференциальных уравнений третьего порядка
01.01.02  дифференциальные уравнения.
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук.
Белгород  2009

Работа выполнена в Орловском государственном техническом университете
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Мешков Анатолий Георгиевич.
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
профессор Зайцев Валентин Федорович.
доктор физико-математических наук,
доцент Боровских Алексей Владиславович.
Ведущая организация:
Томский государственный университет.
Защита состоится "27"января 2009 г., в 15-30, на заседании диссертационного
совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете по ад-
ресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1 БелГУ, аудитория 407.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государ-
ственного университета.
Автореферат разослан " 15 " декабря 2008г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Д 212.015.08
Прядиев В.Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Классификация точно интегрируемых нели-
нейных дифференциальных эволюционных уравнений и систем, а также
изучение различных их свойств, входит в число приоритетных направ-
лений научных исследований РАН1 и является широко известной те-
матикой в исследованиях большого числа современных математиков и
физиков как в нашей стране, так и за рубежом. Интерес к этому направ-
лению объясняется тем, что интегрируемые нелинейные эволюционные
уравнения и системы имеют важные приложения в математике и фи-
зике. Изучение нелинейных точно интегрируемых моделей позволило
обнаружить новые физические явления в самых разных областях: вол-
ны в различных средах, волны на поверхности жидкости, различные
явления в полупроводниках, в твердых телах, в световодах, в плазме, в
квантовой физике. Этим объясняется то, что открытие каждого ново-
го точно интегрируемого нелинейного уравнения признается многими
математиками и физиками важным научным достижением.
В диссертации проводится классификация интегрируемых диффе-
ренциальных эволюционных векторных уравнений с двумя независи-
мыми переменными
?u
?3u
?2u
?u
=
+ f
+ f
+ f
?t
?x3
2 ?x2
1 ?x
0u,
(1)
где u(x, t)  неизвестный вектор, принадлежащий некоторому N-мер-
ному векторному пространству V, а функции fi зависят только от ска-
лярных произведений
u[i,j] = (ui, uj), ?u[i,j] = ui, uj , 0
i
j
2,
(2)
где uk = ?ku/?xk, а (·, ·) и ·, ·  различные скалярные произведения
в V . При этом мы используем только самые общие свойства скалярно-
го произведения  билинейность, симметричность и непрерывность, то
есть для нас несущественна реализация метрик в V. Конечномерность
или вещественность пространства V также не важны.
Актуальность диссертационной темы подтверждается тем, что ис-
следование выполнено по тематике, которая признается актуальной и
важной не только Российской академией наук, но и математиками всего
мира. Многие российские и международные журналы (например Тео-
ретическая и математическая физика, Функциональный анализ, Изве-
стия РАН, Математические заметки, Communications in Mathematical
1План фундаментальных исследований Российской академии наук на период до
2025 года. Cтр. 14, раздел 1.2, пункт 1.2.1. М.: Наука, 2005.
3

Physics, Inverse Problems, Journal of Mathematical Physics и др.) регу-
лярно публикуют статьи, посвященные проблеме точной интегрируемо-
сти. Существуют даже журналы, публикующие статьи преимуществен-
но по указанной тематике (Journal of Nonlinear Mathematical Physics,
Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications).
Цель и задачи работы. Диссертация продолжает серию иссле-
дований, посвященных симметрийной классификациии интегрируемых
уравнений и систем. Общей целью является получение списка интегри-
руемых эволюционных векторных уравнений вида (1). Перечень реша-
емых в диссертации задач выглядит следующим образом:
1) классификация интегрируемых уравнений (1) при различных
ограничениях на коэффициенты fi;
2) доказательство интегрируемости каждого уравнения: построение
авто-преобразования Беклунда для него или поиск дифференциальной
подстановки связывающей его с известным интегрируемым уравнением;
3) исследование возможности построения решений.
Методика исследования. Необходимые условия интегрируемо-
сти для эволюционных систем общего вида были сформулировны Н.Х.
Ибрагимовым и А.Б. Шабатом (1980). Позднее В.В. Соколовым и А.Г.
Мешковым (2002) была предложена модификация симметрийного под-
хода для векторных уравнений. В частности, для уравнений вида (1)
необходимые условия интегрируемости имеют вид законов сохранения
Dt?n = Dx?n,
n = 0, 1, 2, . . .
(3)
Здесь ?n, ?n функции переменных u[i,j], ?u[i,j], 0
i
j
n, Dx опера-
тор полной производной по x, Dt оператор эволюционного дифферен-
цирования. Главной идеей для построении бесконечной серии законов
сохранения является переход от (?Dt + D3 + f
+ f
x
2D2
x
1Dx + f0)u = 0
к скалярному уравнению (?Dt + D3 + f
+ f
x
2D2
x
1Dx + f0)? = 0 и рас-
смотрению его как временного уравнения Лакса для (1). Положив в
последнем
? = exp
R dx ,
мы получаем уравнение типа Риккати
(Dx + R)2R + f2(Dx + R)R + f1R + f0 = F,
(4)
где R и F связаны уравнением неразрывности DtR = DxF .
Если искать решение уравнения (4) в виде ВКБ-разложений
?
?
R = ??1 +
?n?n,
F = ??3 +
?n?n,
(5)
n=0
n=0
4

то уравнения (4) и (5) приводят к следующей реккурентной формуле:
1
?n+2 =
?
3
n ? f0 ?n,0 ? 2 f2 ?n+1 ? f2 Dx?n ? f1 ?n
1
n
n+1
?
f
?
?
?
3
2
s ?n?s +
s ?k ?n?s?k + 3
s ?n?s+1
s=0
0 s+k n
s=0
1 n
1
? Dx ?n+1 +
?
D
2
s ?n?s + 3 x?n , n
0.
s=0
Здесь ?i,j символ Кронекера, ?0 и ?1 определены формулами:
1
1
1
1
?0 = ? f
f 2 ?
f
D
3 2,
?1 = 9 2 3 1 + 3 x f2.
(6)
Теперь, используя (5), мы получаем из уравнения DtR = DxF бес-
конечную серию законов сохранения Dt?n = Dx?n, n = 0, 1, 2, . . . .
Реккурентная формула позволяет находить функции ?n из Dt?n =
Dx?n, поскольку в выражение для ?n входят ?i, i
n ? 2, но не входит
?
1
n. Например, ?2 = ? 1 f
?
f 3 + 1 f
f 2 + 2 D
f
3
0 + 1
3
0 ? 2
81
2
9
1 f2 ? Dx 9 2
9
x f2 ? 1
3
1 ,
и так далее.
Условия Dt?n = Dx?n позволяют найти явный вид функций fi, так
как ?n определяются через коэффициенты fi уравнения (1). Другими
словами, условия Dt?n = Dx?n являются уравнениями для определе-
ния fi. В частности, четные канонические плотности тривиальны, то
есть ?2n = Dx?n, n = 0, 1, . . . , что влечет, согласно (6), f2 ? ImDx
(Im=образ). Таким образом, не теряя общности можно считать f2 =
3/2 Dx(ln f), где f = f(u[i,j], ?u[i,j]), 0
i
j
1.
В качестве доказательства интегрируемости полученных в результа-
те классификации уравнений мы построили авто-преобразования Бек-
лунда для них. Авто-преобразованием Беклунда для уравнения (1) на-
зывают выражение вида ux = B(u, v, vx; ?), где ?  параметр, а u и v
различные решения этого уравнения. Используя авто-преобразования
Беклунда мы нашли, например, периодические решения, одно-, двух-,
и трехсолитонное решения векторного обобщения уравнения Ландау-
Лифшица.
Научная новизна подтверждается тем, что основные результаты
опубликованы в журналах РАН, а также известных зарубежных жур-
налах.
Результатом классификации являются новые интегрируемые урав-
нения вида (1). Изучены преобразования типа Миуры для вектор-
ных уравнений, что позволило систематизировать полученные списки.
5

Предложена модификация известного метода построения решений осно-
ванного на предположении коммутативности диаграммы Бианки. Пока-
зано, для построения формулы нелинейной суперпозиции решений век-
торного уравнения необходимо использовать квазилокальные перемен-
ные. Найдены периодические и солитонные решения векторного обоб-
щения уравнения Ландау-Лифшица.
Апробация работы. Основные результаты диссертации опублико-
ваны в семи работах и докладывались на международной конферен-
ции "Симметрия в нелинейной математической физике"(Киев, 2005),
на семинарах кафедры высшей математики Орловского государствен-
ного технического университета, кафедры информатики Орловского го-
сударственного университета, а также в центре MuPad (университет
Падерборн, Германия, руководитель  профессор Б. Фуксштайнер).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из вве-
дения, четырех глав, заключения и списка используемых источников.
Общий объем диссертации 127 страниц.
Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в 7
публикациях. Из совместных работ в диссертацию вошли только ре-
зультаты принадлежащие соискателю. В работах [5] и [7] соавтору при-
надлежит постановка задачи, а соискателю полученные результаты.
Краткое содержание работы. Во "Введении"дается общая ха-
рактеристика истории возникновения эволюционных уравнений и мето-
дов анализа их различных свойств. Приведен обзор публикаций, посвя-
щенных классификации и изучению свойств различных интегрируемых
уравнений. Даны основные определения, приведена постановка задачи
и описан метод ее решения.
Глава 1 посвящена классификации анизотропных уравнений инте-
грируемых на n-мерной сфере (u2 = 1). Результаты сформулированы в
виде теоремы, которая включает в себя 11 интегрируемых уравнений.
В их числе, анизотроное обобщение уравнения Шварц-КдФ:
3
u 2
ut = u3 +
ln
(u
u) + 3 (u
2
u 2 u 2
2
2 + u2
1
1, u2) u+
1
? u, u1
x
(7)
3
u 2
u 2 u, u
2 2
+
u 2 ?
1 x ? u, u1
u
2 u 2 u 2
2
2
1;
1
? u, u1
u 6
и векторное обобщение высшей симметрии уравнения Ландау-Лифшица:
3
ut = u3 +
u2 + u 2 u
2
1
1 + 3 (u1, u2) u,
(8)
где z2 = (z, z), z 2 = z, z .
6

В качестве доказательства теоремы сформулированы леммы, содер-
жащие описание этапов классификации. Для всех полученных урав-
нений построены авто-преобразования Беклунда. В частности, для
решений u и v уравнения (8) впервые найдено следующее авто-
преобразование Беклунда
u1 + v1 = 2 (u, v1)(u + v) + f (v ? (u, v) u) (u + v)?2,
где f2 = u + v 2 + ? (u + v)2, ?  параметр.
Для уравнения (7) получено авто-преобразование Беклунда в виде
µ v 2( u, v + g v 2)(v
u
1 ? (u, v1) u)
1 =
+
v 2 v 2
2
1
? v, v1
µ v 2( u, v
u 2
+
1 + g v, v1 )( u, v u ? v) , g2 =
.
v 2 v 2
2
1
? v, v1
v 2
Глава 2 содержит представленную двумя теоремами классифика-
цию уравнений интегрируемых в Rn. Первый раздел содержит теорему
о 13 уравнениях вида ut = u3 + f1u1 + f0 u, ее схематичное доказатель-
ство и авто-преобразования Беклунда для них. Второй раздел состоит
из теоремы с перечнем 24 интегрируемых изотропных уравнений (1) при
условии f0 = f0(u, u1), найдены дифференциальные подстановки для
некоторых уравнений, для остальных авто-преобразования Беклунда.
Например, в оба указанных класса входят векторные обобщения мКдФ:
ut + u3 ? 6 (u, u)u1 = 0,
ut + u3 ? 3 (u, u)u1 ? 3 (u, u1)u = 0,
которые имеют, соответственно, следующие авто-преобразования Бек-
лунда
u1 + v1 = (u ? v) µ2 + (u + v)2,
µ +
µ2 + (u + v)2
u1 + v1 + µ(u ? v) =
u (u + v, u) ? v (u + v, v) ,
(u + v)2
где µ  параметр.
В третьем разделе второй главы приведены примеры уравнений ин-
тегрируемых в Rn не удовлетворяющих условию теорем первого и вто-
рого раздела. Там же даны разъяснения о проблемах возникающих при
проведении полной классификации в Rn.
Глава 3 посвящена дифференциальным подстановкам типа Миуры
для векторных уравнений (1). Доказано, что только два изотропных
уравнения интегрируемых в Sn допускают такие подстановки:
7

ut = u3 + 3 u
2
[1,1] u1 + 3 u[1,2] u,
(9)
ut = u3 + 3 u[1,1] u1 + 3 u[1,2] u.
(10)
В частности показано, что решения интегрируемых в Sn уравнений
3
a2 v2
v
[1,2]
t = v3 + 3 v[1,2] v +
+ a (v
) + v
2
1 ? a v
[2,2] ? v2
[1,1]
[1,1]
v1,
(11)
[1,1]
3
1 + p
3 (1 ? p) v
v
[1,2]
t = v3 +
ln
v
v+
2
v
2 ?
[1,1]
2
p
x
3
(1 + p) v
a (1 + p) v2
+
[2,2] ?
[1,2] + v
2
v
[1,1] (1 ? p)
v1,
(12)
[1,1]
p2 v[1,1]
где p2 = 1 + a v[1,1], связаны с решениями (9) и (10):
?
u =
a v1 ?
a ? v[1,1] v , u2 = 1, v2 = 1 :
(9) ? (11),
?
?
? u = h?1 v
?
1 ?
h2 ? v[1,1] v ,
:
(10) ? (12).
? h2 = 2 a?1 (1 ? 1 ? a v
?
[1,1] ),
u2 = 1, v2 = 1
Здесь выражение {u = h1 v1 + h0 v} : (A) ? (B), означает, что u(x, t)
является решением уравнения (A), а v(x, t) есть решение (B).
Кроме этого, в третьей главе найдены дифференциальные подста-
новки связывающие громоздкие уравнения теоремы 1 с более простыми.
Глава 4 содержит формулы суперпозиции для решений векторных
уравнений мКдФ, Ландау-Лифшица, Шварц-КдФ, а так же некоторых
изотропных уравнений интерируемых на n-мерной сфере и уравнений
типа мКдФ. Построены периодические и солитонные решения уравне-
ния Ландау-Лифшица.
В "Заключении"отмечаются главные результаты работы соответ-
ствующие поставленным в ней целям и задачам.
Благодарность.
Соискатель благодарит доктора физико-математических наук, профес-
сора Соколова Владимира Вячеславовича за постановку задачи.
8

Список публикаций:
1. Балахнев, М.Ю. Об одном классе интегрируемых эволюцион-
ных векторных уравнений / М.Ю. Балахнев // ТМФ.  2005.  Т.142. 
ќ2.  С. 1320.
2. Балахнев, М.Ю. Формулы суперпозиции для векторных обоб-
щений уравнения мКдФ / М.Ю. Балахнев // Матем. заметки.  2007.
 Т.82.  ќ4.  С. 501503.
3. Балахнев, М.Ю. Формулы суперпозиции для интегрируемых
векторных эволюционных уравнений / М.Ю. Балахнев // ТМФ.  2008.
 Т.154.  ќ2.  С. 261267.
4. Balakhnev, M.Ju. The vector generalization of the Landau-Lifshitz
equation: Backlund transformation and solutions / M.Ju. Balakhnev //
Appl. Math. Lett.  2005.  V.18.  ќ12.  P. 13631372.
5. Meshkov, A.G. Integrable Anisotropic Evolution Equations on a
Sphere / A.G. Meshkov, M.Ju. Balakhnev // SIGMA.  2005.  V.1. Paper
027.
6. Balakhnev, M.Ju. Superposition formulas for integrable vector
evolutionary equations on a Sphere / M.Ju. Balakhnev // JNMP.  2008.
 V.15.  ќ1.  P. 104116.
7. Meshkov, A.G. On a classication of integrable vectorial
evolutionary equations / A.G. Meshkov, M.Ju. Balakhnev // JNMP.  2008.
 V.15.  ќ2.  P. 212226.
9

Балахнев Максим Юрьевич
Классификация интегрируемых эволюционных векторных
дифференциальных уравнений третьего порядка
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Подписано в печать 12.12.08. Бумага офсетная. Формат 60х90/16.
Тираж 100 экз. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз.
Отпечатано в отделе маркетинга
Федеральной службы государственной статистики по Орловской области
302001, г. Орел, пер. Воскресенский, 24.




Добавить документ в свой блог или на сайт
Разместите кнопку на своём сайте:
поделись


База данных защищена авторским правом ©dis.podelise.ru 2012
обратиться к администрации
АвтоРефераты
Главная страница