Влияние масштабного фактора на упругие характеристики кристаллических структур


Скачать 56,41 Kb.
PDF просмотр
НазваниеВлияние масштабного фактора на упругие характеристики кристаллических структур
Лобода Ольга Сергеевна
Дата конвертации28.09.2012
Размер56,41 Kb.
ТипАвтореферат
СпециальностьМеханика деформируемого твердого тела
Год2007
На соискание ученой степениКандидат физико-математических наук
На правах рукописи
Лобода Ольга Сергеевна
Влияние масштабного фактора
на упругие характеристики
кристаллических структур
Специальность 01.02.04  Механика деформируемого твердого тела
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Санкт-Петербург2007

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессио-
нального образования Санкт-Петербургский государственный политехнический универ-
ситет
Научный руководитель
 доктор физико-математических наук,
профессор Кривцов Антон Мирославович
Официальные оппоненты
 доктор физико-математических наук,
профессор Беляев Александр Константинович
 кандидат физико-математических наук,
доцент Семенов Борис Николаевич
Ведущая организация
 Институт проблем машиноведения
Российской академии наук (Санкт-Петербург)
Защита состоится 11 апреля 2007 г. в 16:00 на заседании диссертационного совета
Д 212.229.08 при ГОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный политехнический
университет по адресу: 195251, Санкт Петербург, Политехническая улица, 29, II учебный
корпус, аудитория 265.
С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО Санкт-
Петербургский государственный политехнический университет.
Автореферат разослан 
 марта 2007 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
Т. В. Воробьева

Общая характеристика работы
Актуальность темы диссертации. Интенсивное развитие нанотехно-
логий привело к необходимости построения адекватных аналитических моделей, позво-
ляющих описать физико-механические свойства объектов наноразмерного масштабного
уровня. Во многих существующих моделях подобного рода принимается, что основные
механические характеристики нанообъектов совпадают со своими значениями, получен-
ными из макроскопических экспериментов. Однако, когда речь идет о структурах, со-
держащих всего несколько слоев атомов, не может не сказываться противоречие между
очевидной дискретностью рассматриваемого объекта и континуальностью его описания.
Несоответствие между значениями модулей упругости, полученных из микро- и макроэкс-
периментов отмечалось многими исследователями. Дискретность наноструктур приводит
к отклонению в значении модулей упругости от их макроскопических значений. К тому
же, в определении размера нанообъекта существует принципиальный произвол, приводя-
щий к неоднозначности макроскопических характеристик, таких как напряжение, модуль
Юнга. Немаловажным свойством наноструктур является также то, что форма и размеры
нанокристалла вносят дополнительную анизотропию в его упругие свойства. Все перечис-
ленное делает необходимым построение моделей, которые с единых позиций описывают
объекты на микро- и макро- уровнях.
Методы исследования. В данной работе для построения и исследования
механических моделей кристаллов и нанокристаллических структур используются мето-
ды трехмерной теории упругости и теории стержней. Также используется метод частиц,
который состоит в представлении вещества совокупностью взаимодействующих матери-
альных точек или твердых тел, описываемых классическими уравнениями движения.
Достоверность. Достоверность результатов достигается использованием стро-
гих математических методов, сравнением результатов, полученных различными путями,
стремлением зависимостей к известным предельным случаям.
Цель работы. Цель данной диссертационной работы состоит в исследовании
зависимости упругих характеристик нанокристаллических структур от их размеров и фор-
мы; установлении связи между макроскопическими тензорами жесткости и параметрами
микроструктуры.
3

Научную новизну работы составляют следующие результаты работы, выно-
симые на защиту.
1. Исследована задача об упругом деформировании конечных кристаллов, обладающих
как плотноупакованными (гранецентрированная кубическая), так и неплотноупако-
ванными (решетка алмаза) кристаллическими решетками. Построены зависимости
упругих характеристик от размеров и формы кристаллов. Полученные результаты
позволяют описывать аномалии механических характеристик наноразмерных объ-
ектов, а также позволяют оценить погрешность дискретизации при использовании
метода частиц.
2. Решена задача о нелинейном деформировании двумерного кристалла. Показано, что
масштабные эффекты проявляются при нелинейном деформировании данной модели
аналогично модели с линейным законом взаимодействия.
3. Решена задача о собственных колебаниях двумерной кристаллической полосы, име-
ющей кубическую и гексагональную решетку, на основе которой определены зави-
симости упругих характеристик от количества слоев атомов. Проведено сравнение с
характеристиками тех же моделей наноструктур, полученными с помощью статиче-
ского подхода, а также с макроскопическими значениями.
4. Для кристаллов, имеющих структуру алмаза (углерод, кремний, германий), полу-
чены выражения для макроскопических тензоров жесткости, зависящие от тензо-
ров жесткости межатомных связей и векторов, определяющих геометрию решетки.
Определены характеристики межатомных связей (продольная и поперечная жест-
кость). Показано, что поперечная жесткость сравнима с продольной и учет ее необ-
ходим для расчета ковалентных кристаллов.
Практическая ценность. С развитием нанотехнологий на практике широко
используются тонкие нанокристаллические покрытия и нанокристаллические стержни и
трубки из различных материалов. Полученные в данной работе результаты позволяют
предсказывать и описывать аномалии механических характеристик наноразмерных объ-
ектов, а также позволяют оценить погрешность дискретизации при использовании метода
частиц. Результаты данной работы планируется использовать также в учебном процессе
для факультативной работы студентов, изучающих теоретическую механику, механику
сплошной среды и физику твердого тела, а также аспирантов, научных работников и
инженеров.
4

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Ин-
ститута проблем машиноведения РАН, а также на российских и международных конфе-
ренциях II Всероссийская конференция Актуальные проблемы прикладной математики и
механики, посвященная памяти академика А. Ф. Сидорова (2004, Абрау-Дюрсо), Summer
School Advanced Problem in Mechanics (2004, 2005, 2006, St. Petersburg, Russia), XXI
Международная конференция Математическое моделирование в механике сплошных сред.
Методы граничных и конечных элементов (Санкт-Петербург), 16th European Conference
of Fracture (ECF16) (Alexandroupolis, Greece, 2006), IX Всероссийский съезд по теорети-
ческой и прикладной механике (2006, Нижний Новгород).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 6 научныx работ. Список пуб-
ликаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех
глав, заключения, списка литературы. Общий объем 107 страниц, список литературы
включает 80 наименований.
5

Содержание работы
Во введении обоснована актуальность исследований, дана общая характери-
стика работы, проведен обзор публикаций, связанных с темой диссертации, изложена
методика исследования.
В первой главе исследуется влияние масштабного фактора на механические
свойтва трехмерного монокристалла, обладающего простой кристаллической решеткой.
Простой называется кристаллическая решетка, все узлы которой равнозначны, т. е. для
простой решетки перемещение на вектор, соединяющий любые два узла, является тожде-
ственным преобразованием. Решетка, не обладающая таким свойством, называется слож-
ной (например, решетка графита или алмаза).
Рассматривается трехмерный нанокристалл, имеющий гранецентированную кубиче-
скую решетку (ГЦК). Так как упругие свойства данной кристаллической решетки ани-
зотропны, то рассматривались два направления: вдоль главной диагонали и вдоль ребра
кубической подрешетки. Кристалл содержит конечное число слоев по одному из направ-
лений (x, y, z) и бесконечное по двум другим направлениям (нанопластина), а также
бесконечное число слоев по одному из направлений и конечное по двум другим направ-
лениям (нанобрус). Для данных моделей определяются значения модулей упругости 
коэффициентов Пуассона и модулей Юнга в трех направлениях и исследуется зависи-
мость этих значений от размеров нанокристалла. Показано, что тензор упругости рас-
сматриваемого кристалла не является симметричным. Размер кристалла по направлению,
содержащему конечное число слоев, определяется неоднозначно, что приводит к неод-
нозначности в определении его механических характеристик. Определяется зависимость
модулей упругости от размеров кристалла в различных направлениях, причем показано,
что для модулей Юнга существеннным оказывается способ определения размеров нано-
кристалла.
Ниже приведены результаты для модели кристалла, имеющего бесконечную длину в
направлении x, содержащего Ny слоев в направлении y и Nz слоев в направлении z,
т. е. вытянутый вдоль оси x брус. В качестве кристаллической решетки выбрана гра-
нецентрированная кубическая решетка и рассматривается ориентация решетки 111. На
рисунке 1 изображено сечение кристалла плоскостью xy. Атомы, находящиеся в одной
плоскости, обозначены белыми кружками. Серыми и черными кружками обозначены ато-
мы, находящиеся в верхнем и нижнем слоях по отношению к изображенному на рисунке.
К атомам на торцах кристалла приложены постоянные растягивающие силы Q. Каждый
6



атом взаимодействует только с ближайшими соседями.
Рис. 1. ГЦК решетка. Сечение плоскостью xy, направление 111
Рис. 2. Фрагмент ГЦК решетки.
Расстояние между ближайшими атомами в недеформированном кристалле обозначим
a0. При произвольном растяжении кристалла в трех взаимно перпендикулярных направле-
ниях x, y и z расстояния между ближайшими соседями, очевидно, изменятся; обозначим
их, соответственно, a, b, c и d (рисунок 2). Важным эффектом, связанным с ограничен-
ностью рассматриваемого кристалла, является невозможность однозначного определения
его размеров по тем направлениям, где кристалл имеет конечное число слоев. Обозна-
чим h  расстояние между горизонтальными слоями в плоскости xy (рисунок 1, 2); H
7


 расстояние между соседними атомными плоскостями xy (рисунок 2), Ly  толщина
кристалла (протяженность кристалла в направлении y). Положим, что толщина кристалла
равна расстоянию между слоями атомов, лежащими на противоположных торцах, то тогда
Ly = (Ny ? 1)h (рисунок 1). Но, с другой стороны, можно определить толщину кристалла
как произведение числа слоев на толщину одного слоя, что приводит к формуле Ly = Nyh.
Поэтому обозначим
def
Ly = N ? h ,
N
? N
y
y ? 1 ? N ?
y
y ,
(1)
где N?  величина, отражающая произвол в определении L
y
y . Аналогично можно получить
для высоты кристалла Lz (его протяженности в направлении z)
def
Lz = N ? H ,
N
? N
z
z ? 1 ? N ?
z
z ,
(2)
где N?  величина, отражающая произвол в определении L
z
z .
Рассмотрение равновесия кристалла под действием приложенных нагрузок дает сле-
дующие зависимости для модулей Юнга и коэффициентов Пуасона от количества слоев
атомов по направлениям y и z (рисунки 3 и 4). Здесь ?1 и E1  коэффициент Пуассона и
модуль Юнга при растяжении вдоль оси x, величины ?2 и E2 соответствуют растяжению
вдоль оси y, а величины ?3 и E3  вдоль оси z. Необходимость введения различных обо-
значений для коэффициента Пуассона и модуля Юнга при растяжении в разных направ-
лениях связаны с анизотропией кристалла. На графике 3 цифрами обозначены: 1) ?1/??,
1
2) ?2/??, 3) ?
. Обозначения ?? и E? соответствуют макроскопическим значениям
2
3/? ?
3
k
k
коэффициента Пуаcсона и модуля Юнга бесконечного кристалла, k = 1, 2, 3.
Рис. 3. Зависимость коэффициентов Пуассона от числа атомарных слоев.
8


Рис. 4. Зависимость Модулей Юнга от числа атомарных слоев.
Обозначение min соответствует минимальному (при данном N) значению модуля
Юнга, реализующемуся при N? = N, обозначение max  максимальному значению, реа-
лизующемуся при N? = N ?1. На графике цифрами обозначенo: 1) Emax/E?, 2) Emax/E?,
1
1
2
2
3) Emax/E?, 4) Emin/E?, 5) Emin/E?, 6) Emin/E?, где E?  макроскопическое значение
3
3
2
2
1
1
3
3
k
модуля Юнга бесконечного кристалла:
15
12
E? = E? =
G ,
E? =
G .
(3)
1
2
7
3
5
Показано, что форма и размеры нанокристалла вносят дополнительную анизотропию
в его упругие свойства. На анизотропию, связанную с видом кристаллической решетки
накладывается анизотропия, вызванная его размером и формой. Все упругие характе-
ристики трехмерного нанокристалла существенно зависят от числа атомарных слоев N.
При увеличении числа слоев все они стремятся к своим макроскопическим значениям,
соответствующим бесконечному кристаллу.
Показано, что неоднозначность в определении размера нанообъекта приводит к неод-
нозначности таких макроскопических характеристик, как модуль Юнга. Особенно сильно
это проявилось для нанобруса в направлении кристаллической решетки 111. Из полу-
ченных результатов следует, что нельзя однозначно рекомендовать выбор величины N?.
Для направления 111 предпочтительнее выбор N? = N, тогда как для 100 более выгодно
выбрать N? = N ? 1.
Масштабные эффекты вносят существенный вклад в значения упругих характери-
9

стик нанокристалла, особенно когда количество атомарных слоев исчисляется единицами.
Ошибка в определении модуля Юнга при N = 10 может составлять более 20 процентов,
однако уже при N = 100 ошибка составляет не больше 2 процентов.
Также в первой главе решена задача о нелинейном деформировании двумерного кри-
сталла. Частицы взаимодействуют посредством парного потенциала Леннарда Джонса
a 12
a 6
?(r) = D
? 2
.
(4)
r
r
где r - расстояние между взаимодействующими частицами, a - равновесное расстояние
между частицами, D = ?(a)- энергия связи. Рассмотрен случай нелинейного деформиро-
вания бесконечной кристаллической решетки. Определены максимально возможные на-
пряжения, возникающие при растяжении кристаллической решетки.
При рассмотрении конечного кристалла показано, что масштабные эффекты проявля-
ются в упругих свойствах данной модели аналогично модели с линейным законом взаи-
модействия.
Во второй главе рассматривается изгибные колебания двумерной кристал-
лической полосы, имеющей а) кубическую, б) гексагональную решетку. Определяется
спектр собственных частот колебаний таких кристаллов, строятся дисперсионные кри-
вые. С другой стороны, собственные частоты колебаний определяются с использованием
континуальной теории стержней (рассматриваются продольные и изгибные колебания),
что позволяет выразить собственные частоты через упругие модули. Из сравнения соб-
ственных частот, найденных в рамках дискретного и континуального подходов, получаем
условия, из которых определяются упругие модули. Результаты сравниваются с упругими
характеристиками наноструктур, полученными ранее с помощью статического подхода.
На рисунках 5 и 6 приведено сравнение упругих характеристик наноструктур (моду-
ля Юнга и изгибной жесткости), полученных с помощью статического и динамического
подходов для двуслойной полосы.
10



Рис. 5. Зависимость модуля Юнга от числа атомарных слоев вдоль оси x .
Прямая 1 на рисунке 5 показывает макроскопическое значение модуля Юнга (констан-
та относительно количества слоев). При статическом рассмотрении двуслойной полосы
бесконечной длины при N? = N
y
y получено значение модуля Юнга, полностью совпадаю-
щее с макроскопическим (тоже прямая 1). Кривая 2 соответствует динамическому под-
ходу. В этом случае рассматривалась двуслойная полоса конечной длины, что объясняет
расхождение с прямой 1 для короткой полосы (менее 12 слоев атомов). При увеличении
длины полосы значение модуля Юнга и при динамическом подходе стремится к макро-
скопическому.
Рис. 6. Зависимость изгибной жесткости от числа атомарных слоев.
Прямая 1 на рисунке 6 показывает макроскопическое значение изгибной жесткости
11


для ширины полосы в два слоя. Прямая 2 обозначает значение изгибной жескости, полу-
ченное из статического рассмотрения двуслойной полосы бесконечной длины. Как видно
из рисунка, макроскопическое значение на 25 процентов больше. Результат исследования
двуслойной полосы конечной длины с помощью динамического подхода представлен кри-
вой 3. С увеличением длины полосы значение изгибной жесткости стремится к прямой 2
(статический подход).
В третьей главе рассматриваются кристаллы, имеющие сложные кристалличе-
ские решетки. Используется дискретная механическая модель сложной кристаллической
решетки, содержащей частицы, обладающие как поступательными, так и вращательными
степенями свободы. Частицы взаимодействуют между собой посредством сил и моментов.
Макроскопические характеристики материала зависят не только от продольной жестко-
сти межатомной связи, но и поперечной жесткости межатомной связи, отличной от нуля
только при наличии моментного взаимодействия на межатомном уровне. Определяются
характеристики межатомных связей для кристаллов, имеющих структуру алмаза (рису-
нок 7). Рассматриваются углерод, кремний, германий и др. Используются выражения для
макроскопических тензоров жесткости, зависящие от тензоров жесткости межатомных
связей и векторов, определяющих геометрию решетки.
Рис. 7. Решетка алмаза.
Для сложной кристаллической решетки тензоры жесткости вычисляются по формулам
1
1
4A? =
a? A? a? ,
A? =
A? ,
2V
??
?? ??
?
??
(5)
?
2V?
?,?,?
?
где ?  номер ячейки (пробегает все ячейки, с которыми взаимодействует данная); a???
 вектор, проведенный из частицы ? данной ячейки к частице ? ячейки ?; V?  объем
12


элементарной ячейки. Тензоры жесткости межатомных связей представляются в виде
A? = A? a? a? + D? d? d? .
(6)
??
?? ?? ??
?? ?? ??
a a + d d = (a )2E.
(7)
? ?
? ?
?
Коэффициенты A? в формуле (6) характеризуют продольную жесткость межатомной
??
связи, а коэффициенты D?  поперечную жесткость. Собственно жесткостями являются
??
произведения A? a? 2 и D? a? 2. Отметим, что наличие поперечных жесткостей свиде-
?? ??
?? ??
тельствует о нецентральности межатомного взаимодействия.
Определены характеристики межатомных связей для кристаллов, имеющих структуру
алмаза (углерод, кремний, германий). Показано, что отношение поперечной жесткости
ковалентной связи атомов углерода к продольной в кристаллах алмаза лежит в проме-
жутке от 0.72 до 0.50, т. е. поперечная жесткость сравнима с продольной и учет ее
необходим для расчета ковалентных кристаллов. Для кристаллов кремния и германия по-
добное отношение составляет 0.34. В последовательности C-Si-Ge расчитанная жесткость
ковалентной связи убывает соответственно с увеличением межатомного расстояния.
Для кристалла, имеющего структуру алмаза, определяются зависимости упругих ха-
рактеристик от размеров кристалла (рисунки 8, 9).
Рис.8. Зависимость молулей Юнга от числа атомарных слоев, N? = N ? 1.
На графике цифрами обозначенo: 1) Emax/E?, 2) Emax/E?, 3) Emax/E?, где E? 
1
1
2
2
3
3
k
макроскопическое значение модуля Юнга бесконечного кристалла.
13


Рис.9. Зависимость модулей Юнга от числа атомарных слоев, N? = N.
На графике цифрами обозначенo: 1) Emin/E?, 2) Emin/E?, 3) Emin/E?.
2
2
1
1
3
3
Подобно результатам, полученным для простых решеток, ошибка в определении мо-
дуля Юнга при N = 10 может составлять 24 процента, однако уже при N = 100 ошибка
составляет не больше 2 процентов.
В заключении сформулированы основные результаты работы
1. Получены зависимости упругих характеристик нанокристаллов от их размеров и
формы. Рассматривались нанокристаллы, обладающие как плотноупакованными (гра-
нецентрированная кубическая), так и неплотноупакованными (решетка алмаза) кри-
сталлическими решетками. Так как упругие свойства данных решеток анизотропны,
то упругие характеристики определялись в системах осей, связанных с направления-
ми решетки 100 и 111. Рассматривались нанопластина (кристалл содержит конечное
число слоев по одному из направлений (x, y, z) и бесконечное по двум другим
направлениям) и нанобрус (бесконечное число слоев по одному из направлений и
конечное по двум другим направлениям). Полученные результаты свидетельствуют
о том, что форма и размеры нанокристалла вносят дополнительную анизотропию в
его упругие свойства. На анизотропию, связанную с видом кристаллической решет-
ки накладывается анизотропия, вызванная его размером и формой.
Все упругие характеристики нанокристаллов существенно зависят от числа атомар-
ных слоев N, в особенности когда количество атомарных слоев исчисляется едини-
14

цами. При увеличении числа слоев все они стремятся к своим макроскопическим
значениям, соответствующим бесконечному кристаллу.
2. Решена задача о нелинейном деформировании двумерного кристалла. Определены
максимально возможные напряжения, возникающие при растяжении. Показано, что
масштабные эффекты проявляются при нелинейном деформировании данной модели
аналогично модели с линейным законом взаимодействия.
3. Решена задача о собственных колебаниях двумерной кристаллической полосы, име-
ющей кубическую и гексагональную решетку, на основе которой определены зави-
симости упругих характеристик от количества слоев атомов. Проведено сравнение с
характеристиками тех же моделей наноструктур, полученными с помощью статиче-
ского подхода, а также с макроскопическими значениями. Значения модуля Юнга,
полученные с помощью различных подходов, стремятся к макроскопическому зна-
чению с увеличением длины полосы (ростом числа атомарных слоев). При N > 12
ошибка составляет 1%. Макроскопическое значение изгибной жесткости для дву-
слойной полосы на 25 процентов выше значения, полученного с помощью дискрет-
ного подхода. Значения изгибной жесткости, полученные с помощью статического и
динамического подходов совпадают с увеличением длины полосы (N > 40).
4. Для кристаллов, имеющих структуру алмаза (углерод, кремний, германий), полу-
чены выражения для макроскопических тензоров жесткости, зависящие от тензо-
ров жесткости межатомных связей и векторов, определяющих геометрию решетки.
Определены характеристики межатомных связей. Показано, что отношение попереч-
ной жесткости ковалентной связи атомов углерода к продольной в кристаллах алмаза
лежит в промежутке от 0.72 до 0.50, т. е. поперечная жесткость сравнима с продоль-
ной и учет ее необходим для расчета ковалентных кристаллов. В последовательности
C-Si-Ge расчитанная жесткость ковалентной связи убывает соответственно с увели-
чением межатомного расстояния.
Основные результаты опубликованы в следующих работах:
1. Лобода О. С., Кривцов А. М. Влияние масштабного фактора на модули упругости
трехмерного нанокристалла // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. ќ 4.
C. 2741.
15

2. Loboda O. S., Krivtsov A. M. Determination of elastic constants for 3D-nanocristal //
Proc. of XXXII Summer School "Advanced Problems in Mechanics 2004", St. Petersburg,
Russia. C. 268274.
3. Лобода О. С. Сравнение статического и динамического подходов к определению упру-
гих характеристик наноструктур // Труды XXI Международной конференции "Мате-
матическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конеч-
ных элементов", 4 - 7 октября, 2005, Санкт-Петербург. Т. 2. C. 323328.
4. Loboda O. S. Comparison of discrete and continuum modeling for 2D nanocrystal stripe
vibrations // Proc. of XXXIII Summer School "Advanced Problems in Mechanics 2005",
St. Petersburg, Russia. C. 243250.
5. Loboda O. S., Krivtsov A. M., Morozov N. F. Scale effect in elastic end strength properties
of nanostructures // Proc. of 16th European Conference of Fracture (ECF16), Alexandroupolis,
Greece, July 3 - 7, 2006.
6. Loboda O. S. Scale effect in elastic properties of nanostructures with complex crystal
lattices. Proc. of XXXIV Summer School "Advanced Problems in Mechanics 2006", St.
Petersburg, Russia.
16


Разместите кнопку на своём сайте:
поделись


База данных защищена авторским правом ©dis.podelise.ru 2012
обратиться к администрации
АвтоРефераты
Главная страница